femtegrads ekvation

Det går inte att lösa alla femtegradsekvationer (inte ens teoretiskt). Den här kan du lösa genom att först bryta ut ett x och sedan substituera $x^2 = t$ så som du har gjort tidigare.

God morgon Magdalena!

Jag somnade bort mitt i allt igår. 

Hur kan man bryta ut detta? Det finns exponent 3 och ett.

Du kan bryta ut ett x, för det är en gemensam faktor i alla termer i VL.

Srdan kan du använda nollproduktsmetoden för att dela upp problemet i två delar.

Den ena är enkel och den andra är av samma typ som du löste igår kväll.

x^3(x^2 + sedan går det inte. 

Vad man kan göra. Det är bara strunta att det står x^5 och sätta till t^2 istället. 

Lösningarna  blir - 1 och -3

För hundrade gången: LÄS de råd du får!

Bryt ut x ur VL.

Hur ser din ekvation ut då?

Det där är jätterörigt med många fel.

Varför vägrar du att följa råden du får?

Din ekvation är x^5 + 4x^3 + 3x = 0

Bryt nu ut x ur VL, ingenting annat.

Hur ser då ditt VL ut?

$$\begin{gathered} x^5+4x^3+3x=0 \\ x(x^4+4x^2+3)=0 \end{gathered}$$

Nu ser du att x=0 är en lösning. För att komma vidare sätter du $t=x^2$

$$\begin{gathered} t^2+4t+3=0 \\ dettakandu \\ t=-3 \\ och \\ {t}_{=-1} \end{gathered}$$

För att få fram x får du nu använda $t=x^2$ dvs $x=\pm \sqrt{t}$

$$\begin{gathered} x=\pm \sqrt{-3} \\ samt \\ x=\pm \sqrt{-1} \end{gathered}$$

Dessa ger dina 4 komplexa lösningar.

Dina 5 lösningar blir då x=0, x=i, x=-i, x=i$\sqrt{3}$ och x=-i$\sqrt{3}$

joculator skrev :

$$\begin{gathered} x^5+4x^3+3x=0 \\ x(x^4+4x^2+3)=0 \end{gathered}$$

Nu ser du att x=0 är en lösning. För att komma vidare sätter du $t=x^2$

$$\begin{gathered} t^2+4t+3=0 \\ dettakandu \\ {t}_1=-3 \\ {t}_{2=-1} \end{gathered}$$

 

För att få fram x får du nu använda $t=x^2$ dvs $x=\pm \sqrt{t}$

$$\begin{gathered} x=\pm \sqrt{-3} \\ samt \\ x=\pm \sqrt{-1} \end{gathered}$$

Dessa ger dina 4 komplexa lösningar.

Dina 5 lösningar blir då x=0, x=i, x=-i, x=i$\sqrt{3}$ och x=-i$\sqrt{3}$

Detta var verkligen bra visning. 

Tack.
Jag har dock hoppat över en hel del saker som du måste skriva för en fullständig lösning. (tex varför x=0 är en lösning). Alla stegen har förklarats tidigare i denna tråd så du får komplettera själv.

X är lösning eftersom andra sidan är den noll. 

Nollproduktsregeln ger att x=0 är en lösning.

Men visst, man behöver vekligen inte skriva 'nollproduktsregeln'. Det går att förklara med andra ord.

joculator skrev :

Nollproduktsregeln ger att x=0 är en lösning.

Men visst, man behöver vekligen inte skriva 'nollproduktsregeln'. Det går att förklara med andra ord.

Håller med Dig Joculator!

Kan du då skriva en fullständig och korrekt lösning av detta problem Päivi?

Kolla Yngve PM först. Har du mera frågor. Tittar vi därefter detta här. Ställ frågorna. Jag svarar. Ursäkta att jag skriver så. Det är inte mening. 

Nu är jag förbannad på dator. Jag kom bra bit  här, men allt försvann från mig. Att jag ska behöva bli förbannad på dator och telefon. 

Jag ska försöka på nytt. 

$$\begin{gathered} x^5+4x^3+3x=0 \\ ----------- \\ x(x^4+4x^2+3)=0 \\ x=0 \\ ----------- \\ använder t för att lösa ut detta \\ klarar inte förlänga kvadratroten och behålla exponenten närheten av parentesen av någon anledning. \\ -------------- \\ (t^2+4t+3)=0 \\ {t}^2=-\frac{4}{2}\pm {\sqrt{\left[-\frac{4}{2}\right]}}^2-3= \\ t=-2\pm \sqrt{1}=-1 \\ t=-2-\sqrt{1}=-3 \\ ----------------- \\ nollproduktsmetoden \\ x(x^4+4x^2+3)=0 \\ ------- \\ Lösningar: \\ {x}_1=0 \\ {x}_2=-1 \\ {x}_3=-3 \\ {x}_4=\sqrt{3i} \\ {x}_5=\sqrt{1i} \end{gathered}$$

Det är t som är -1 och -3. Vad blir då x?

Om t=-1 är x=$\pm \sqrt{-1}$=$\pm i$

Om t=-3 är x= ?

Jag vet inte. Den går under noll. 

Om du tittar på $x^4+4x^2+3$. Tycker du det ser rimligt ut att du får lösningarna $x=-1$ och $x=-3$? Varför, varför inte? Du har uppenbarligen inte testat lösningarna i alla fall.

Nej, det har inte jag gjort, men ska göra detta. 

X= 0

De andra hamnar under 0. 

Päivi, varför lägger du upp lösningar här utan att först ha kontrollerat dem?

Nu är de kontrollerade och det finns bara en lösning och det är att x är noll. De andra går under. 

Man ser det utan också att de går under.

Jag kommer inte ihåg namnet på direkten, vad det nu heter. 

Päivi skrev :

Nu är de kontrollerade och det finns bara en lösning och det är att x är noll. De andra går under. 

Det finns 5 lösningar till ekvationen. Joculator har listat alla i ett tidigare inlägg.

Men det finns bara en lösning bland de reella talen.

Vänta Yngve!

Telefonen stängde av helt och hållet. Telefonen är på laddning just nu. Jag kommer inte åt en sak just nu, men svarar om en stund. Har Du Yngve läst?

Päivi skrev :

Kolla Yngve PM först. Har du mera frågor. Tittar vi därefter detta här. Ställ frågorna. Jag svarar. Ursäkta att jag skriver så. Det är inte mening. 

Päivi, all hjälp sker publikt via forumet och inte via PM. /moderator

Det stämmer! Det är regel nr. 10.

"Det är inte tillåtet att starta en tråd eller skriva ett inlägg för att erbjuda eller be om hjälp via personliga meddelanden (PM). All hjälp sker över det publika forumet."

Läs gärna samtliga regler här: https://www.pluggakuten.se/content/rules

Vi diskuterar inte mattefrågor via PM.

Det var diskussion om, när jag skulle göra matte prov och inga räkne uppgifter. Jag fick en fråga och den har jag besvarat nu. Jag ville veta, om det var något speciellt kring det. 

Tomadst10, tar reda på saker och ting, vad saken handlar om först, innan du skriver sådant. !

--------

Kring matteprovet?
Nej jag var bara nyfiken.
Delete 1 timme sedan
Hej Yngve!
Har du några speciella funderingar kring detta?
Delete 1 timme sedan

------

Du Yngve menar +/- roten ur t

Päivi skrev :

Du Yngve menar +/- roten ur t

Nej, jag menar att ekvatonen x^5 + 4x^3 + 3x = 0 har fyra komplexa rötter och en reell rot.

Det finns alltså fem olika värden på x som uppfyller ekvationen: Ett reellt och fyra komplexa tal.

Jag ser 5 komplexa tal. Vi har en nolla med och resten är med i

Menar du roten ur 1, Yngve?

Päivi skrev :

Jag ser 5 komplexa tal. Vi har en nolla med och resten är med i

Menar du roten ur 1, Yngve?

Nej, roten ur 1 är inte en lösning till ekvationen.

Bara för att kolla att vi pratar om samma sak: Vilka 5 tal ser du som lösningar till ekvationen x^5 + 4x^3 + 3x = 0 Päivi? 

Jag diskuterar allt som rör om matte uppgifter på forum och inte PM. Det finns andra typer av matte frågor, när man ska göra prövning. Jag gör ingen prövning, innan hela kursen är färdig läst har jag berättat till Yngve. 

X= 0

mera än så ser jag inte. 

EDIT - Vi kanske ska släppa de komplexa talen

Päivi - kommer du ihåg något om komplexa tal och hur de används när man ska dra roten ur ett negativt tal?

Päivi skrev :

X= 0

mera än så ser jag inte. 

Va? Men du skrev ju nyss att du ser 5 komplexa tal? Förvirring ....

Päivi skrev :

Jag ser 5 komplexa tal. Vi har en nolla med och resten är med i

Jag tycker att du ska läsa joculators lösningsförslag noga igen. Förstår du alla steg i den lösningen? Fråga annars.

Skulle du kunna göra en likadan lösning nu?

Roten ur 3, Yngve!

Jag tror vi släpper just denna ekvation en liten stund.

Päivi - kommer du ihåg något om komplexa tal och hur de används när man ska dra roten ur ett negativt tal?

Vi har x^2, Yngve. 

Jag minns att ekvationerna var likadana, fast allt gick under noll och då skulle det skrivas under rot tecknet även bokstav i med. Man kan inte lösa vanligt vis ex roten ur minus 16

i^2=ger det negativa talet. 

Päivi skrev :

Vi har x^2, Yngve. 

Jag minns att ekvationerna var likadana, fast allt gick under noll och då skulle det skrivas under rot tecknet även bokstav i med. Man kan inte lösa vanligt vis ex roten ur minus 16

i^2=ger det negativa talet. 

OK. Komplexa tal ingår i Matte 2 så du bör nog repetera det innan provet.

Men hur lyder originaluppgiften egentligen? Ord för ord?

(dvs den där du ska lösa femtegradsekvationen)

Jag gör matte 3 provet och inte matte 2 prov. 

Jag har snabbt gått genom den, men aldrig haft prov på det. Har aldrig läst om den mera än lite förra året, Yngve.!

Skriva 3i , den kan vara både positiv och negativ. 

+/-roten ur minus 9 

blir det 

+/- 3i. Yngve!

Päivi skrev :

Jag gör matte 3 provet och inte matte 2 prov. 

Ja, men du förväntas nog veta att det finns komplexa tal, vad det är och hur de kan komma till användning, till exempel att de kan vara lösningar till ekvationer där man stöter på just att behöva dra roten ur ett negativt tal.

Men hur lyder originaluppgiften egentligen? Ord för ord?

(dvs den där du ska lösa femtegradsekvationen)

Det står lös ekvationen. Det här handlar om femtegrads ekvation. 

x^ 5+ 4x^3 + 3x=0

vi har bokstaven i med de här komplexa talen. 

Menar du det som finns i x axeln? 

Komplexa tal fanns i matte E kursen. Kurserna  förändrades efter 2011. Vi hade inget om det på matte B, när jac gjorde provet. 

Päivi skrev :

Jag gör matte 3 provet och inte matte 2 prov. 

Om du skall skriva prov på Ma3 förväntas du kunna Ma2. Komplexa tal ingår i Ma2. Slutsats: Du behöver behärska komplexa tal för att klara Ma3.

Päivi skrev :

Det står lös ekvationen. Det här handlar om femtegrads ekvation. 

x^ 5+ 4x^3 + 3x=0

vi har bokstaven i med de här komplexa talen. 

Om det bara står "Lös ekvationen x^5+ 4x^3 + 3x = 0" så räcker det inte att du endast anger x = 0 som lösning. Du måste ange alla 5 lösningarna.

Det betyder att du måste behärska komplexa tal.

Repetera genom att läsa om det här så kan vi fortsätta med denna uppgift efter det.

Nu läser det som finns i matte 3 i allra först. 

Jag kan inte hoppa hit och dit, nej. 

Ja det spelar ingen roll var du repeterar det.

Bara du vet hur du kan skriva t.ex. $\sqrt{-4}$ med hjälp av den imaginära enheten $i$.

Det där blir +/-2i

Vektorer är också nytt som vi har aldrig haft. Det kommer också högre kurserna. Det minns jag inte mycket av. Logaritmer har vi på gamla c kursen. 

Det där sysslade jag med förra året. Tänkte att jag sätter inte stor vikt på det nu. Det liknar som vanliga ekvationer fast det har med i att göra. Tyckte inte att det var svårt ens. Jag tittar närmare på saker senare som inte fanns på gamla kurserna. 

OK.

Då borde du kunna hitta alla fem lösningarna till ekvationen x^5+ 4x^3 + 3x = 0.

Jag tittar inte sådant som finns i matte 2 nu. Det som inte fanns då, tittar jag senare. Jag läser först matte 3c eller lägger av med matten helt. Jag lägger större vikt på derivata nu. Fjärde grads ekvationer och tredjegrads ekvationer är också nytt. Jag ville repetera det, eftersom jag vet att det där kommer jag inte riktigt ihåg. Min sambo gick för snabbt framåt. Vi fick veta att matte kurserna har förändrats och då tittade vi på det förra året. 

Vänta! Jag ska skriva från dator. Jag klarar inte av skriva något från telefonen som det liknar något med. 

 $$\begin{gathered} x=\pm \sqrt{-3}=ca 1.73i \\ x=\pm \sqrt{-1}=1i \end{gathered}$$

Nej det där är inte fem lösningar.

Jag tror att det är dags att ge upp på den här uppgiften

De fem lösnigarna är x=0, x=i, x=-i, x=i$\sqrt{3}$ och x=-i$\sqrt{3}$, som joculator skrev för 10 timmar sedan.

Du ville allra först veta en enda lösning som var real lösning. Sedan helt plötsligt ändrar det du. Jag kan inte snart veta, vad du Yngve menar. Jag har alla 5 lösningar i min block. Ibland är det svårt att förstå vad du menar. Jag tycker att jag har skrivit alla de tidigare och då får du mig bli snurrig. Jag har inget emot dig Yngve! 

Päivi skrev :

Du ville allra först veta en enda lösning som var real lösning. Sedan helt plötsligt ändrar det du. Jag kan inte snart veta, vad du Yngve menar. Jag har alla 5 lösningar i min block. Ibland är det svårt att förstå vad du menar. Jag tycker att jag har skrivit alla de tidigare och då får du mig bli snurrig. Jag har inget emot dig Yngve! 

Han frågar eftersom det känns som du kopierat vissa svar. T.ex. så skriver du fortfarande $t^2=...$ på din sista bild när det ska vara $t=...$. Detta har påvisats flera gånger i flera trådar. 

Vilka svar då? 

Jag kopierar ingenting. Jag måste veta orsaken varifrån de kommer. Det är något jag passar mig noga för. Det är inget man lär sig att kopiera. 

Då kan det vara missförstånd. Är det något jag inte förstår, måste jag ta reda på annat håll. Jag undviker titta på mina gamla block. Jag vet att jag kommer inte ihåg allt från förra året. Jag hade allt i färskt minne, men sedan gick min sambo bort. Kopiera är något jag aktar mig för. 

Jag anser börjar man kopiera, då är man fortfarande väldigt barnslig av sig. Det leder inget vart att man är sådan. 

Nu har jag förstått det här. Jag stannar upp med saker och ting. Går inte vidare med matte. 

Päivi skrev :

Du ville allra först veta en enda lösning som var real lösning. Sedan helt plötsligt ändrar det du.

Nej det där stämmer inte Päivi. Läs alla mina kommentarer igen från början. Jag har aldrig efterfrågat endast den reella lösningen.

Jag kan inte snart veta, vad du Yngve menar. Jag har alla 5 lösningar i min block. Ibland är det svårt att förstå vad du menar. Jag tycker att jag har skrivit alla de tidigare och då får du mig bli snurrig. Jag har inget emot dig Yngve! 

Jag ser inte att du någon gång har skrivit alla fem lösningarna. Inte ens nu när du visat ditt block.

Där finns det sex lösningar, varav två är dubletter (blåmarkerade) och en är felaktig (rödmarkerad).

Sedan finns en lösning där jag inte ser vad det står (grönmarkerad). Det ser ut som om det står i och då är det ytterligare en dublett. Du har alltså endast skrivit 3 eller 4 korrekta lösningar.

Lösningen x=i*rotenur(3) saknas.

Om jag tar alla de här lösningarna på egen hand nu och raderar bort allt vad jag har skrivit alla de här 6 lösningarna. Vill jag att du kollar Yngve. 

Jag tar min gamla post och lägger till lite info. Gå igenom varje steg. Säg till att du förstår varje steg.

Säg till om det är något du undrar över!

$$\begin{gathered} x^5+4x^3+3x=0 \\ x(x^4+4x^2+3)=0 \end{gathered}$$              Jag börjar med att bryta ut x och får

Nollproduktregeln ger att x=0 är en lösning. De andra lösningarna fås om
$x^4+4x^2+3=0$
Detta är en 4:e gradsekvation, men vi har tur och har bara jämna potenser på x så vi kan ersätta $x^2$ med t. Dvs $t=x^2$ och får då:

$t^2+4t+3=0$      som löses med p/q-formeln       (den går jag inte igenom här eftersom du visat att du kan det)
Du får 2 lösningar för t som är  t=-1 och t=-3
Men du vill ju inte ha t utan x så då får du fortsätta lite till.

För att få fram x får du nu använda $t=x^2$ som vi satte några rader tidigare. Vi löser ut x och får $x=\pm \sqrt{t}$
Med våra två lösningar för t får vi då:

$$\begin{gathered} x=\pm \sqrt{-3}=\pm i\sqrt{3} \\ samt \\ x=\pm \sqrt{-1}=\pm i\sqrt{1}=\pm i \end{gathered}$$

Detta är dina 4 komplexa lösningar.
Du har nu lösningarna  $x=0;x=i;x=-i;x=i\sqrt{3}ochx=-i\sqrt{3}$

Insättning av lösningarna i ursprungsekvationen (för att se att de är rätt):

$$\begin{gathered} 0^5+4{·}^3+3·0=0stämmer! \\ {i}^5+4·i^3+3i=i-4i+3i=0stämmer! \\ (-i{)}^5+4·(-i{)}^3+3(-i)=-i+4i-3i=0stämmer! \\ (i\sqrt{3}{)}^5+4·(i\sqrt{3}{)}^3+3\left(i\sqrt{3}\right)=...dettaochsistaöverlämnarjagåtdig! \end{gathered}$$

Jag vet inte hur jag skall kunna skriva det tydligare. Du måste nog berätta vilket/vilka steg som är oklara.

På en tenta/ett prov skulle jag skriva nästan alla rader från denna lösning (jag skulle bara ta bort det som är kommentarer till dig). Var inte rädd för att skriva text som förklarar vad du gör , hoppa inte över steg (det blir rörigt för dig och för den som rättar).  Se hur Yngve skriver, han brukar ha rena och snygga lösningar.

Sist, men kanske viktigast, KONTROLLERA DINA SVAR!
Är 5 lösningar på en 5:e gradsekvation rimligt? Är det rimligt att 4 av dem är komplexa? Hade det varit rimligt om du fått 2 reella och 3 komplexa?
Sätt in dina lösningar i ursprungsekvationen och se om de stämmer.

Hej Jacolator. 

Jag åter kommer ca om en timme. Jag måste göra djuren i ordning och få frukost i mig och kaffe. 

Sedan tar vi detta tillsammans. 

Hej så länge!

Nu ska jag försöka kontrollera det sista här som du Joculator överlämnade till mig. Jag slår detta på min miniräknare. Jag tycker att jag förstår. Det beror också vad Yngve skrev och att jag förstår vad han skrev. 

i = -1    -i= (-1* -1) = 1, så har jag det tolkat. 

Nu kontrollerar jag. Skriver snart igen här. 

Hej Joculator!

Jag fick det inte stämma. Svaret blev - 41,56

en annan sak kan vara att jag har slagit fel med miniräknaren. Har kontrollerat detta två gånger nu. 

Hej Joculator!

Kan det vara så att jag gör fel med miniräknaren, varför inte jag får allt bli till noll ? Jag tror att jag för övrigt förstår Dig Joculator, men det här med miniräknaren är en annan sak. Ska jag ta cplx, kan det betyda komplexa?

Päivi skrev :

Hej Joculator!

Jag fick det inte stämma. Svaret blev - 41,56

en annan sak kan vara att jag har slagit fel med miniräknaren. Har kontrollerat detta två gånger nu. 

Det här behöver du ingen miniräknare för, du kan räkna det på papper Päivi.

Ta ett x-värde i taget, sätt in det istället för x i uttrycket x^5 + 4x^3 + 3x och kontrollera att värdet blir lika med 0.

I de fall där du inte får fram värdet 0 så kan du visa oss dina uträkningar. Då kan vi hjälpa dig att hitta var det går fel. Om du inte visar vad du gör så kan vi inte hjälpa dig med det.

Hej Yngve!

Jag gör det om 5 minuter. Kom tillbaka Yngve då, ska jag göra detta!

Hälsningar 

Päivi

Nu har du skrivit alldeles fel flera gånger. i är inte lika med-1.

Slarvar du eller behöver du läsa om komplexa tal från grunden?

Enligt miniräknaren fick jag det bli noll

X^2= -1 det där är kvadrat. 

i = kvadrat rot minus 1

$$\begin{gathered} (i\sqrt{3}{)}^5+4·(i\sqrt{3}{)}^3+3\left(i\sqrt{3}\right)=i{3}^{0,5·5}-4i{3}^{0,5·3}+i3\sqrt{3}=i{3}^{2,5}-4i{3}^{1,5}+3i\sqrt{3}= \\ =i{3}^2\sqrt{3}-4i3\sqrt{3}+3i\sqrt{3}=i9\sqrt{3}-i12\sqrt{3}+i3\sqrt{3}=i\sqrt{3}(9-12+3)=i\sqrt{3}·0=0 \end{gathered}$$

Det är bara potensregler $a^{b^c}=a^{b·c}$

Och att du vet att $\sqrt{x}=x^{0.5}$

Det är så jag har förstått att det ska höjas till hälften. 

Det går inte skriva roten minus 1, då får man väl skriva -1^(1/2)

Det där var inte lätt kunna skriva. 

joculator skrev :

$$\begin{gathered} (i\sqrt{3}{)}^5+4·(i\sqrt{3}{)}^3+3\left(i\sqrt{3}\right)=i{3}^{0,5·5}-4i{3}^{0,5·3}+i3\sqrt{3}=i{3}^{2,5}-4i{3}^{1,5}+3i\sqrt{3}= \\ =i{3}^2\sqrt{3}-4i3\sqrt{3}+3i\sqrt{3}=i9\sqrt{3}-i12\sqrt{3}+i3\sqrt{3}=i\sqrt{3}(9-12+3)=i\sqrt{3}·0=0 \end{gathered}$$

Det är bara potensregler $a^{b^c}=a^{b·c}$

Och att du vet att $\sqrt{x}=x^{0.5}$

Hej Päivi.

Ursprungsekvationen är $x^5+4x^3+3x=0$

Jag hoppas att vi är överens (fråga annars) om att ekvationens 5 lösningar är:

$x_1=0$

$x_2=i$

$x_3=-i$

$x_4=i\sqrt{3}$

$x_5=-i\sqrt{3}$

Jag antar att din fråga (se bild) gäller från vilken av lösningarna som uttrycket joculator skrev kommer.

Svaret är att det kommer från denna lösning: ${\mathit{x}}_{\mathbf{4}}\mathbf{=}\mathit{i}\sqrt{\mathbf{3}}$.

Jag går igenom kontrollen av lösningen steg för steg så får du säga till om och i så fall var du behöver extra förklaring. Tanken är alltså att sätta in värdet på $x_4$ i ekvationens VL och verifiera att resultatet blir 0, dvs att ekvationen är uppfylld för detta värde på x.

Steg 1:

Vi sätter in $\mathit{i}\sqrt{\mathbf{3}}$ istället för x i ekvationens vänsterled VL och får då följande:

$VL={\left(\mathit{i}\sqrt{\mathbf{3}}\right)}^5+4{\left(\mathit{i}\sqrt{\mathbf{3}}\right)}^3+3\left(\mathit{i}\sqrt{\mathbf{3}}\right)$

Steg 2: 

Vi skriver om parenteserna enligt räkneregeln ${\left(a·b\right)}^c=a^c·b^c$:

$VL=i^5·{\left(\sqrt{3}\right)}^5+4·i^3·{\left(\sqrt{3}\right)}^3+3·i·\sqrt{3}$

Steg 3:

Eftersom $i^5=i^{2+2+1}=i^2·i^2·i$ och $i^2=-1$ så är $i^5=(-1)·(-1)·i=1·i=i$

På samma sätt, eftersom $i^3=i^{2+1}=i^2·i$ så är $i^3=(-1)·i=-i$ och vi kan då skriva

$VL=i·{\left(\sqrt{3}\right)}^5+4·(-i)·{\left(\sqrt{3}\right)}^3+3·i·\sqrt{3}$

$VL=i·{\left(\sqrt{3}\right)}^5-4i·{\left(\sqrt{3}\right)}^3+i·3\sqrt{3}$

Steg 4:

På samma sätt som i steg 3, så kan vi skriva ${\left(\sqrt{3}\right)}^5={\left(\sqrt{3}\right)}^2·{\left(\sqrt{3}\right)}^2·\sqrt{3}=3·3·\sqrt{3}=9\sqrt{3}$

På samma sätt, vi kan skriva ${\left(\sqrt{3}\right)}^3={\left(\sqrt{3}\right)}^2·\sqrt{3}=3·\sqrt{3}=3\sqrt{3}$

Om vi inför detta i uttrycket för VL får vi:

$VL=i·9\sqrt{3}-4i·3\sqrt{3}+i·3\sqrt{3}$

$VL=9i\sqrt{3}-12i\sqrt{3}+3i\sqrt{3}$

$VL=i\sqrt{3}·\left(9-12+3\right)=i\sqrt{3}·0=\mathbf{0}$

Hänger du med?

Hej Yngve!

Det var mycket bra förklarat, Yngve!. Jag hängde med riktigt bra som Du förklarade till mig!

Tack så¨mycket för allt besvär du har lagt inför det här!