Fem interessanta integraler

Hej!
För er alla som tycker om integration vill jag dela fem integraler som jag har löst nyligen. De är ordnade baserat på vilka integrationstekniker man behöver kunna för att lösa dem (inte svårighetsgrad).

De första två behöver enbart standard integrationstekniker (på gymnasienivå?), exempelvis partiell integration, variabelsubstitution och lite roliga trick med algebra! Efter det behövs lite andra tekniker, exempelvis serieutveckling (även värdet på kända summor) eller Leibniz regel för integration.

1.
$\displaystyle \int\limits_0^\infty{\frac{\ln x}{x^2 + b^2}dx}$ där $b \in \mathbb{R}$ och $b\neq 0$

2.
$\displaystyle \int\limits_0^4{\frac{\ln x}{\sqrt{4x-x^2}}dx}$

3.
$\displaystyle \int\limits_0^1{\frac{\sin(\ln{x})}{\ln x}dx}$

4.
$\displaystyle \int\limits_0^\infty{\left(\frac{\ln x}{x+1}\right)^2dx}$

5.
$\displaystyle \int\limits_0^2{\frac{\ln x}{\sqrt{4x-x^2}}dx}$
Denna integral innehåller en mindre känd konstant

Kort info om denna konstant

Svaret innehåller Catalan's konstant, $G$

$G := \displaystyle \sum_{n=0}^\infty{\frac{(-1)^n}{(2n+1)^2}} = \int\limits_1^\infty{\frac{\ln x}{1+x^2}dx}$

Ingen info om $G$ behövs förutom denna definition (jag kan ingen annan heller).

(Ja jag tycker om att lägga till $\ln x$ till mina integraler!)
Svårighetsgradsmässigt skulle jag sortera dem, från lättast till svårast: 1, 3, 4, 2, 5

Ledtråd för 1

Använd substitutionen $bt = x$ .

Därefter kan det vara bra att dela upp integralen som integralen från 0 till 1 och integralen från 1 till oändlighet. Kan du hitta någon substitution som gör om gränserna för den ena till den andra?

Ledtråd för 2

Börja med substitutionen $u=4-x$ . Det leder till en ny representation för integralen. Addera ihop den ursprungliga representationen med den nya. Leta efter substitutioner som till slut gör om nämnaren till $\sqrt{1-u^2}$ .

Ledtråd för 3

Låt
$I(t)$ $\displaystyle = \int\limits_0^1{\frac{\sin(t\ln x)}{\ln x}dx}$
Beräkna $I'(t)$ och integrera sedan (kom ihåg + C)

Ledtråd för 4

Hitta en serieutveckling för $\frac{1}{(1+x)^2}$

Ledtråd för 5

(Jag hoppas det finns en enklare lösning än min)

Använd substitutionen $u = 2-x$ sedan $2y =u$ .
Dela upp logaritmen med logaritmlagar och använd $y = \sin \theta$

Lycka till!

Nyfiken på hur du träffar på dem. Skriver upp något som verkar intressant och börjar räkna, eller finns det någon tillämpning bakom dem?

Trinity2 skrev:
Nyfiken på hur du träffar på dem. Skriver upp något som verkar intressant och börjar räkna, eller finns det någon tillämpning bakom dem?

Ofta skriver jag bara upp något / ändrar någon detalj om en integral jag redan löst. Exempelvis är integral 5 en variant på 2. Förändringen i gränser gör den dock myycket svårare att beräkna (om det inte finns en enklare metod än min lösning). Man kan hitta på massor med intressanta integraler genom att bara skriva något och försöka lösa!

Svara