Felanvändning av =/= i bevisföring

Vad betyder de sneda korsen? Inte delbart?

Smaragdalena skrev :

Vad betyder de sneda korsen? Inte delbart?

ja exakt!

d = 2
a = 3
b = 7

d är inte en delare till a.
d är inte heller en delare till b.

Men det är en delare till a+b.
Eller har jag missuppfattat?

Tigster skrev :

d = 2
a = 3
b = 7

d är inte en delare till a.
d är inte heller en delare till b.

Men det är en delare till a+b.
Eller har jag missuppfattat?

Det är riktigt, och det är problemet. Du har alltså motbevisat påståendet. På bilden ser du hur jag (felaktigt) bevisade samma påstående, och jag vill ha hjälp att förstå var jag gjorde det fel som så att säga gav ett "falskt positivt" resultat. 

=> a+b != d*k1+d*k2 != d(k1+k2)
k1+k2 kan mycket möjligt anta någon multipel av d och därmed också medföra att d delar (a+b)

Fast.. sker det inte tidigare än så till och med? Vad är det som säger att k1 eller k2 inte får vara en multipel av d eller d självt?

Tigster skrev :

=> a+b != d*k1+d*k2 != d(k1+k2)
k1+k2 kan mycket möjligt anta någon multipel av d och därmed också medföra att d delar (a+b)

Fast.. sker det inte tidigare än så till och med? Vad är det som säger att k1 eller k2 inte får vara en multipel av d eller d självt?

 

mhm... jag kan köpa att (k1+k2) skulle kunna vara en multipel av d. Men om k1 eller k2 var en multipel av d skulle väl a bli delbart med d?

Du måste skriva mer text i dina bevis! Vad gör du i varje steg? Vad står dina variabler för? Vad är det du vet om dina olika variabler, och vad är det du antar om dina variabler när du introducerar nya? 

Nu är det svårt att förstå vad du menar i varje steg, men här har jag gissat lite och fyllt i mer text så att någon slags tankegång framgår tydligare. Om du menade annorlunda när du skrev ditt bevis får du gärna göra ett eget försök att fylla på med text i ditt eget bevis!

För att underlätta diskussion har jag numrerat de olika stegen i beviset.

* * *

Påstående. Låt a, b och d vara heltal, och anta att d ł a och d ł b. Då gäller även d ł (a+b).

(Felaktigt) bevis. 

(1) Låt k1 och k2 vara två stycken heltal.

(2) Att d varken delar a eller b implicerar att

a =/= k1 * d   

och   

b =/= k2 * d.

(3) Vi kan nu summera dessa båda oliklikheter för att få

a + b =/= k1*d + k2*d.

(4)  Eftersom k1*d+k2*d=(k1+k2)*d, så betyder detta att

a + b =/= (k1+k2)*d.

(5) Enligt definitionen av delbarhet betyder detta i sin tur att d ł (a+b). □

* * *

Det är påståendena vi gör i steg (3) och (5) som är felaktiga. Ser du varför?

Generellt tips:

Innan man ger sig på att bevisa ett påstående är det en god idé att kritiskt granska det, så att man intr slösar tid på att försöka bevisa något som inte är sant. Gör en rimlighetsanalys! Stämmer påståendet för några enkla fall? Kan du utmana påståendet med några specialfall där du tror att det riskerar att fallera?

I det här fallet finns det flera ganska enkla motexempel, exempelvis d=2, a=1 och b=1 (eller det som Tigster föreslog), men det är en övningsak att hitta dem.