Fel vid Laplacetransform, osäker varför

Jag vet inte hur du har räknat, men det som är lätt att missa är att täljaren behöver vara $s+1$ och inte $s$ för att återtransformera den ena termen till $e^{-t}\cos(2t)$

$\mathcal{L}^{-1}\{\dfrac{s+2}{s^2+2s+5}\}=$ $\underbrace{\mathcal{L}^{-1}\{\dfrac{s+1}{(s+1)^2+4}\}}_{=e^{-t}\cos(2t)}$ $+\mathcal{L}^{-1}\{\dfrac{1}{(s+1)^2+4}\}=e^{-t}\cos\left(2t\right)+e^{-t}\mathcal{L}^{-1}\{\dfrac{1}{s^2+4}\}$

Nu behövs att täljaren är två för att återtransformera den andra termen till $\sin(2t)$. Därför multipliceras med två inuti parentesen och divideras med två utanför den.

$=e^{-t}\cos\left(2t\right)+\dfrac{e^{-t}}{2}\underbrace{\mathcal{L}^{-1}\{\dfrac{2}{s^2+4}\}}_{=\sin(2t)}=e^{-t}\cos\left(2t\right)+\dfrac{e^{-t}}{2}\sin\left(2t\right)$

Det är här faktorn $1/2$ kommer in i bilden.

Okej tack för hjälpen men varför fungerar det inte att göra som jag att göra inverse laplace på $\frac{s}{{(s+1)}^2+4}$och sedan på $\frac{2}{{(s+1)}^2+4}$och hur kommer det sig att 1 i täljarn och nämnaren försvinner när du tar ut e^-t medans på andra termen försviner bara 1 i nämnaren?? tack för förklaringen

Det går mycket väl att ta Laplaceinversen av uttrycket

$\dfrac{s}{(s+1)^2+4}$

men svaret blir inte $e^{-t}\cos(2t)$ utan $e^{-t}\cos(2t)-e^{-t}\sin(2t)/2$.

Men vi kanske ska backa bandet i och med att du undrar lite grann över vad som egentligen händer när vi plockar ut faktorn av $e^{-t}$. Du hittar förmodligen i din tabell över laplacetransformer något liknande:

Vad denna egenskap säger oss är att ifall vi har en laplacetransform av någon funktion, säg $F(s)=1/s^2$ och Laplaceinversen $f(t)=t$ kan vi genom att multiplicera inversen med $e^{at}$ byta ut $s$ i $F(s)$ mot $s-a$. Om vi t.ex. låter $a=3$ blir då:

$\mathcal{L}\{e^{3t}\cdot t\}=\dfrac{1}{(s-3)^2}$

I vårt fall vill vi utnyttja detta för att beräkna Laplaceinverser. Jag visade ett tankesätt i mitt förra inlägg (i tron om att det var ungefär så som du tänkt), men så här kanske blir enklare. Vi söker Laplaceinversen:

$\mathcal{L}^{-1}\{\dfrac{s+2}{(s+1)^2+4}\}$

Låter vi nu $a=-1$ ger den ovannämnda egenskapen att vi får multiplicera med $e^{-t}$ och samtidigt byta ut $s$ mot $s-1$. Det ger:

$\mathcal{L}^{-1}\{\dfrac{s+2}{(s+1)^2+4}\}=e^{-t}\mathcal{L}^{-1}\{\dfrac{s-1+2}{(s-1+1)^2+4}\}=e^{-t}\mathcal{L}^{-1}\{\dfrac{s+1}{s^2+4}\}$

För att nu kunna pussla ihop det här till en transform av $\cos(\omega t)$ (som blir $s/(s^2+\omega^2)$ vill vi bara ha ett $s$ i täljaren. Därför delar vi upp:

$=e^{-t}\mathcal{L}^{-1}\{\dfrac{s}{s^2+4}+\dfrac{1}{s^2+4}\}=e^{-t}(\mathcal{L}^{-1}\{\dfrac{s}{s^2+2^2}\}+\mathcal{L}^{-1}\{\dfrac{1}{s^2+2^2}\})=e^{-t}(\cos\left(2t\right)+\dfrac{1}{2}\mathcal{L}^{-1}\{\dfrac{2}{s^2+2^2}\})$

$=e^{-t}(\cos\left(2t\right)+\dfrac{\sin(2t)}{2})$

Steget med faktorn $1/2$ görs eftersom att uttrycket för laplacetransformen av $\mathcal{L}\{\sin(\omega t)\}=\omega/(s^2+\omega^2)$ kräver att vi har $\omega$ (i detta fall $2$) i täljaren.

Blev det något klarare nu?

Ah nu förstår jag tack så mycket