Fel vid jämförelsetest av serier på gränsvärdeform

Jag har stött på ett problem vid användning av följande sats (jämförelsetest på gränsvärdeform):

Anta att $\sum_{k = 1}^{\infty} a_{k}$ och $\sum_{k = 1}^{\infty} b_{k}$ är positiva serier och att gränsvärdet $L = \lim_{k \to \infty} \frac{a_{k}}{b_{k}}$ existerar (oegentligt gränsvärde är tillåtet).

1) Om $L < + \infty$ och $\sum_{k = 1}^{\infty} b_{k}$ är konvergent, så är även $\sum_{k = 1}^{\infty} a_{k}$ konvergent.

2)Om $L > 0$ och $\sum_{k = 1}^{\infty} b_{k}$ är divergent, så är även $\sum_{k = 1}^{\infty} a_{k}$ divergent.

När jag prövar satsen med standardserier, till exempel $a_{k} = \frac{1}{k}$ (som är divergent) och $b_{k} = \frac{1}{k^{2}}$ (som är konvergent) bör gränsvärdet alltså inte hamna i intervallet $0 < L < + \infty$ . Dessvärre så verkar det som att det blir fallet trots att ena divergerar och andra konvergerar.

$\lim_{k \to \infty} \frac{\frac{1}{k}}{\frac{1}{k^{2}}} = \lim_{k \to \infty} k = \infty$

Varför blir resultatet såhär? Får man inte välja vilket $b_{k}$ som helst?

Jag har glömt de finstilta paragraferna vid jämförelsetesten men du skriver att gränsvärdet inte bör hamna i intervallet 0 < L < oändl.

Men det gör det ju inte heller. L = oändligheten.

Eller missförstår jag dig?

Självklart är det du skriver rätt, jag råkade tro att $\infty$ fick ingå i intervallet. Om vi dock låter $a_{k} = \frac{1}{k^{2}}$ (som är konvergent) och $b_{k} = \frac{1}{k^{3}}$ (som också är konvergent) bör gränsvärdet hamna i intervallet eftersom båda är konvergenta. I detta fall blir svaret också $\infty$ , alltså utanför intervallet. Hur kommer det sig?

Nu blev du jobbig :)

Jag minns faktiskt inte, men är det inte så att OM gränsvärdet är ett positivt ändligt tal SÅ är båda konvergenta eller båda divergenta.

Men OM båda är konv (eller div) SÅ kan gränsv vara noll eller oändl.

Att implikationen bara går åt ena hållet.

Edit : Men om summa a_n konvergerar a_n > b_n och a_n/b_n går mot 0 så konvergerar även summa b_n

(och motsv om b div och a/b går mot oändl så div a).

Lurigt, jag har kunnat detta men glömt.

Just det man måste väga in om alla a_n är mindre/större än motsvarande b_n också. Nej gå till boken. Jag rör bara till det

Nu tittade jag på fallet 1/k² och 1/k^3. Där blev L oändligt. Men fall 2 i din presentation är inte akuellt, det är bara om en av dem divergerar du kan använda det testet.

Jag tror ändå jag förstår din generella poäng och det verkar som den stämmer! Om gränsvärdet hamnar utanför intervallet säger ju inte satsen något om serien är konvergent eller divergent. I de fallen ger satsen alltså ingen information. Man får helt enkelt använda en annan metod eller sats för att avgöra om serien är konvergent eller inte. Tusen tack för vägledningen!

Virrigt och med många redigeringar, men bra om det gav något.

Svara

Visa senaste svar