Fel/rätt

Den homogena lösningen är Ae^t + Be^-t, är du med på det?

Ja, jag har testat sätta in och köra gränsvärdet men det ger mig t i nämnaren. 

Hur får du t i nämnaren?

y = e^t/2 kan inte vara en lösning, för y/t² går mot oändligheten när t går mot 0.

I vilket fall kommer t vara i nämnaren? Det blir såhär $\frac{C{e}^{-t}+D{e}^t+{\displaystyle \frac{t{e}^t}{2}}}{t^2}$

Mm, men man väljer C och D så att gränsvärdet finns.

Serieutveckla e^t och e^-t med några termer.

Nu förstår jag inte alls, t blir fortfarande i nämnaren??

Det går inte att förenkla och få ut det på ett sätt så att t försvinner från nämnaren?$\frac{D(1+t+\frac{t^2}{2})+C(1-t-\frac{t^2}{2})+{\displaystyle \frac{t{e}^t}{2}}}{t^2}$

Det går även att lösa det på ett annat sätt än via serieutveckling. Men kör på den metoden som du tycker funkar bäst :) 

Till lösningsförslaget:

Ett gränsvärde på formen $\underset{x\to c}{\lim }\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=\frac{0}{0}$ eller $\underset{x\to c}{\lim }\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=\frac{\infty }{\infty }$ är med stor sannolikhet konvergent. Det beror på lite småfaktorer, just hur f(x) och g(x) ser ut. Vill man läsa på mer om detta kallas det för L'Hopital's regel.

Om vi ansätter f(t) till täljaren och g(t) till nämnaren så får vi:

 $\frac{f\left(t\right)}{g\left(t\right)}=\frac{y\left(t\right)}{t^2}=\frac{A{e}^t+B{e}^{-t}+{\displaystyle \frac{1}{2}}t{e}^t}{{\displaystyle t^2}}$

Sätt in 0 i uttrycket:

$\frac{f\left(0\right)}{g\left(0\right)}=\frac{A+B+0}{{\displaystyle 0}}$

Dvs, gränsvärdet är möjligtvist konvergent om och endast om $A+B=0\iff A=-B$. Men vi behöver en till ekvation för att bestämma A och B.

L'Hopital's regel säger att (om några villkor är uppfyllda):

$\underset{x\to c}{\lim }\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=\underset{x\to c}{\lim }\frac{f\text{'}\left(x\right)}{g\text{'}\left(x\right)}$

Om vi först skriver om uttrycket och sedan deriverar täljaren och nämnaren separat så:

$\frac{f\left(t\right)}{g\left(t\right)}=\frac{2A{e}^{2t}+2B+t{e}^{2t}}{{\displaystyle 2t^2{e}^t}} \to \frac{f\text{'}\left(t\right)}{g\text{'}\left(t\right)}=\frac{4A{e}^{2t}+e^{2t}+2t{e}^{2t}}{{\displaystyle 4t{e}^t+2t^2{e}^t}}$

Sätt in 0 i uttrycket:

$\frac{f\text{'}\left(0\right)}{g\text{'}\left(0\right)}=\frac{4A+1+0}{0+0}$

Dvs, gränsvärdet är konvergent om och endast om $4A+1=0 \iff A=-\frac{1}{4}$

Med ovanstående ekvation får vi att $B=-A=\frac{1}{4}$. Såklart, med kända värden på A och B så kan man ju även räkna ut vad gränsvärdet blir :)

Hoppas detta var till någon hjälp annars är det bara höra av dig i tråden

itter skrev:

Det går inte att förenkla och få ut det på ett sätt så att t försvinner från nämnaren?$\frac{D(1+t+\frac{t^2}{2})+C(1-t-\frac{t^2}{2})+{\displaystyle \frac{t{e}^t}{2}}}{t^2}$

Använd serieutvecklingen för te^t också.

Truppeduppe skrev:

Det går även att lösa det på ett annat sätt än via serieutveckling. Men kör på den metoden som du tycker funkar bäst :) 

Till lösningsförslaget:

Ett gränsvärde på formen $\underset{x\to c}{\lim }\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=\frac{0}{0}$ eller $\underset{x\to c}{\lim }\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=\frac{\infty }{\infty }$ är med stor sannolikhet konvergent. Det beror på lite småfaktorer, just hur f(x) och g(x) ser ut. Vill man läsa på mer om detta kallas det för L'Hopital's regel.

Om vi ansätter f(t) till täljaren och g(t) till nämnaren så får vi:

 $\frac{f\left(t\right)}{g\left(t\right)}=\frac{y\left(t\right)}{t^2}=\frac{A{e}^t+B{e}^{-t}+{\displaystyle \frac{1}{2}}t{e}^t}{{\displaystyle t^2}}$

Sätt in 0 i uttrycket:

$\frac{f\left(0\right)}{g\left(0\right)}=\frac{A+B+0}{{\displaystyle 0}}$

Dvs, gränsvärdet är möjligtvist konvergent om och endast om $A+B=0\iff A=-B$. Men vi behöver en till ekvation för att bestämma A och B.

L'Hopital's regel säger att (om några villkor är uppfyllda):

$\underset{x\to c}{\lim }\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=\underset{x\to c}{\lim }\frac{f\text{'}\left(x\right)}{g\text{'}\left(x\right)}$

Om vi först skriver om uttrycket och sedan deriverar täljaren och nämnaren separat så:

$\frac{f\left(t\right)}{g\left(t\right)}=\frac{2A{e}^{2t}+2B+t{e}^{2t}}{{\displaystyle 2t^2{e}^t}} \to \frac{f\text{'}\left(t\right)}{g\text{'}\left(t\right)}=\frac{4A{e}^{2t}+e^{2t}+2t{e}^{2t}}{{\displaystyle 4t{e}^t+2t^2{e}^t}}$

Sätt in 0 i uttrycket:

$\frac{f\text{'}\left(0\right)}{g\text{'}\left(0\right)}=\frac{4A+1+0}{0+0}$

Dvs, gränsvärdet är konvergent om och endast om $4A+1=0 \iff A=-\frac{1}{4}$

Med ovanstående ekvation får vi att $B=-A=\frac{1}{4}$. Såklart, med kända värden på A och B så kan man ju även räkna ut vad gränsvärdet blir :)

Hoppas detta var till någon hjälp annars är det bara höra av dig i tråden

Detta var så mycket till hjälp! Men hur ska man argumentera för att man kan använda L'Hopital, för att säga att den med stor sannolikhet är konvergent är kanske inte så trovärdigt?

Man kan argumentera för att L'Hopitals regel går att använda eftersom både y(t) samt t² är uttryck som består av väldefinierade elementära funktioner. Båda är definierade på ett öppet intervall samt deriverbara. Vidare är inte g'(x) = 0. Det är de kraven för att L'Hopitals regel ska gälla, om jag förstått rätt.

Jag tänker det om ändligt, den kan ju bli divergent?

itter skrev:

Jag tänker det om ändligt, den kan ju bli divergent?

Jag förstår inte riktigt din fråga, skulle du kunna utveckla den lite mer?

Självklart, min fråga är hur vi kan få fram första ekvationen från L'Hopital om vi inte är säkra att derivata resultatet ger ett konvergent värde. Du skrev att det "med stor sannolikhet" är så men hur kan vi vara säkra?

itter skrev:

Självklart, min fråga är hur vi kan få fram första ekvationen från L'Hopital om vi inte är säkra att derivata resultatet ger ett konvergent värde. Du skrev att det "med stor sannolikhet" är så men hur kan vi vara säkra?

Bättre att serieutveckla som Laguna skriver i #10