Fel med dubbelintegral

Hej, har svårigheter med att lösa följande uppgift:

$\iint \frac{x}{1 + y^{2}} d x d y$ över området $D = {(x, y) : x^{2} \leq y \leq 1, x \geq 0}$ vilket jag har ritat upp som området i första kvadranten innanför där y=1 skär x^2. Jag gjorde följande försök:

$\int_{0}^{1} (\int_{x^{2}}^{1} \frac{x}{1 + y^{2}} d y) d x = \int_{1}^{1} {[x a r c \tan (y)]}^{1}_{x}$ ²dx=∫01πx 4-xarctan(x2)dx

där jag gör substitutionen $x^{2} = z, \frac{d z}{d x} = 2 x$

$\int_{0}^{1} \frac{π x}{4} d x - \int_{0}^{1} \frac{a r c \tan (z)}{2} d z = 0$

men detta är fel eftersom facit får ln(2)/4. Jag vill gärna veta vart jag tar mitt felaktiga steg.

Tack i förhand!

Det ser bra ut, felet är bara att det sista inte alls blir noll. Det blir ln(2)/4 som det ska. Här vad det olika integralerna ska bli, och vad de blir tillsammans: https://www.symbolab.com/solver/step-by-step/%5Cint_%7B0%7D%5E%7B1%7D%5Cfrac%7B%5Cpi%20x%7D%7B4%7Ddx-%5Cint_%7B0%7D%5E%7B1%7D%5Cfrac%7Barctan%5Cleft(z%5Cright)%7D%7B2%7Ddz

Skicka lösning om du inte lyckas få fram samma svar

jakobpwns skrev:
Det ser bra ut, felet är bara att det sista inte alls blir noll. Det blir ln(2)/4 som det ska. Här vad det olika integralerna ska bli, och vad de blir tillsammans: https://www.symbolab.com/solver/step-by-step/%5Cint_%7B0%7D%5E%7B1%7D%5Cfrac%7B%5Cpi%20x%7D%7B4%7Ddx-%5Cint_%7B0%7D%5E%7B1%7D%5Cfrac%7Barctan%5Cleft(z%5Cright)%7D%7B2%7Ddz

Skicka lösning om du inte lyckas få fram samma svar

Tack så mycket! Jag såg att jag glömde bort hur man räknar integralen av arctan totalt, tror att min hjärna blockerade den delen eller nåt haha. Tack!

Svara