Fel i facit?

Hej! Vet inte om det står fel i facit eller om min hjärna är dödstrött just nu...

Uppgiften: Beräkna integralen $I = \int_{0}^{π} x (\sin x + \cos x) d x$

Rätt svar enligt facit är $I = π - 2$

Så här ser deras hela lösning ut:

$I = [x (- \cos x + \sin x)] - \int 1 \times (- \cos x + \sin x) d x = [\begin{matrix} x (\sin x - \cos x) \end{matrix}] + \int (\cos x - \sin x) d x =$

$[\begin{matrix} x (\sin x - \cos x) \end{matrix}] + [\begin{matrix} \sin x - \cos x \end{matrix}] = (π (\sin π - \cos π) - 0 (\sin 0 - \cos 0)) + ((\cos π - \sin π) - (\cos 0 - \sin 0) = (π - 0) + (- 1 - 1) = π - 2$

Det som förvirrar mig är varför $[\begin{matrix} \sin x - \cos x \end{matrix}]$ blev $(\cos x - \sin x)$

Nu stoppade jag inte in integrationsgränserna överallt, men hoppas det gick att förstå...

Partiell integration kräver ju att den andra integralen ska ha ett minustecken framför sig. Facit har helt enkelt multiplicerat in detta minustecken in i integralen:

$\displaystyle -\int$ $sin(x)-cos(x)\ dx=$ $\displaystyle \int$ $-(sin(x)-cos(x))\ dx$ $=\displaystyle \int -$ $sin(x)+cos(x)\ dx=$ $\displaystyle \int$ $cos(x)-sin(x)\ dx$

Svara