Fel i bok om antal Yatsykast?
Denna genomgång verkar felaktig. Den orsakade mig betydande tidsutdräkt igår och ett antal vilseledande svar innan jag var på banan igen. Jag vill ge en varning. En felaktig siffra i facit är en sak men när det är själva genomgången som är inkorrekt kan det bli följdfenomen.
Hur många yatsykast med ett par finns det? Ett par är alltså utfallet xxyzv där x, y, z och v är parvis olika.
Den fundamentala frågan är ”med/utan avseende på ordning?”.
Om vi tänker oss en binär värld så finns det tre utfall om man singlar två slantar – (GubbeGubbe), (GubbePil), (PilPil). Men ska vi beräkna sannolikheter så måste vi tänka fyra utfall; (GubbePil) och (PilGubbe) räknar vi som två olika utfall.
I boken är alla tärningar på bilden vackert röda. Men man kan tänka sig att de hade haft olika färg. I så fall blir (blå3, grön5) ett annat utfall än (blå5, grön3). Så tänker boken, den väljer två av de fem tärningar som ska bilda par. (5 över 2) är 10.
Det finns 6 valörer att få par i. 10*6 = 60
Sedan har vi tre tärningar kvar. De ska ha tre valörer av de fem återstående. (5 över 3) är 10. Boken landar i 10*6*10 = 600 kast med ett par.
Fast i sista steget görs ingen skillnad mellan (blå3, grön5) mellan (blå5, grön3). Lösningen blir en hybrid mellan med och utan hänsyn till ordning.
Jag tänker att vi antingen kan se tärningarna som individuella. Då får vi 60 möjliga fall för själva paret och 5*4*3 för de övriga, totalt 3600 kast som ger par. Nu kan vi beräkna sannolikheten för par = 3600/65 = 25/54 ≈ 0,46.
Eller så kan vi se tärningarna som identiska. Då blir frågan hur många konstellationer som ger ett par. Dem kan man lätt skriva upp:
11234, 11235, 11236, 11245, 11246, 11256, 11345, 11346, 11356, 11456;
tio konstellationer med par i ettor – lika många med par i tvåor, treor, …, sexor.
Svar 60 kast om man inte tar hänsyn till ordning och 3600 kast om man tar hänsyn till ordning.
Men bokens 600 kast har ingen rimlig tolkning som jag ser det.
Jag håller med. Boken tycks göra fel.
Jag tycker det är lite vansinne att säga att "vi ska välja 2 tärningar av 5", eftersom att det indikerar att valet av tärning spelar roll, och sedan säga att "vi ska välja valörer" utan att ta någon hänsyn till vilken tärning det är fråga om, eftersom det indikerar att valet av tärning saknar roll.
Om vi nu säger att vi förutom att välja valör på icke-paret även skall välja ordning på dessa så får vi 3! gånger så många kombinationer, dvs 600*6= 3600, vilket var det du skrev.
Om vi helt struntar i ordningen så behöver vi inte välja ut två tärningar till paret, det räcker att konstatera att två och endast två av dem har samma valör, denna valör kan väljas på 6 sätt som multiplicerat med antalet sätt att välja valör på de övriga ger 6*10 = 60, vilket också var det du skrev.
Ett annat sätt att lösa det på vore att säga att i ett par-Yatzy-kast så finns det 4 unika valörer närvarande. Dessa kan väljas ut på (6 över 4) vis, 15 vis. Sedan skall vi välja ut en av valörerna att förekomma två gånger, detta kan ske på 4 vis, vilket ger 15*4= 60 unika par-Yatzy-kast.
Intressant fråga. Jag löste den först utan att kolla och gjorde exakt samma fel som boken! Men när jag ser ditt resonemang inser jag att du har rätt och boken fel.
Stackexchange håller med dig: https://math.stackexchange.com/questions/245245/what-is-the-probability-of-getting-one-pair-in-yahtzee
Boken tar hänsyn till vilka två tärningar som bildar par. Röd tvåa, blå tvåa räknas inte identiskt med röd tvåa, grön tvåa.
Boken tar inte hänsyn till hur övriga tre värden fördelas. Grön etta, gul fyra, svart femma räknas identiskt med gul etta, svart fyra, grön femma.
Det hänger inte ihop.
Vi är överens, allihop.
Skönt vi är överens, känns som en stor familj.
Kombinatorik, sannolikhetslära och statistik är inget för amatörer. Många av oss mattelärare har viss förtrogenhet med gränsvärden, ekvationssystem och trianglar. Vi kanske skulle kunna skriva en lärobok om sådant. Men när vi kommer till statistikkapitlen bör vi se oss om efter en expert.
Jag känner en gammal fransyska, pensionerad mattelärare, som älskar sannolikhetslära över allt annat (näst efter sin familj). Jag har lite svårt att förstå hur man kan tycka att det är den mest intressanta delen av matematiken!
Smaragdalena skrev:Jag känner en gammal fransyska, pensionerad mattelärare, som älskar sannolikhetslära över allt annat (näst efter sin familj). Jag har lite svårt att förstå hur man kan tycka att det är den mest intressanta delen av matematiken!
Jag är en ganska oskicklig matematiker, det roligaste tycker jag är när en förklaring träffar helt rätt och eleven/studenten upplever aha!
Jag hade en statistikkurs där jag fastnade på en uppgift – tyckte den krävde utomjordiska metoder för att lösas. Så jag skrev till bokens författare (Tom Britton) och undrade om han verkligen menade som det stod. Och kort efter kom en briljant förklaring – om man såg det ur ett annat perspektiv så blev det lätt!
Vad som också är gränsöverskridande är när olika områden av matematiken möts. Vi hade en lektor från Rumänien som på en fikarast fick ihop partiella andraderivator med kägelsnitt, Taylorutvecklingar egenvektorer och jag minns inte allt vad – en motorvägskorsning med livlig trafik i alla riktningar.
Eller när jag insåg att 87*93 kan beräknas i huvudet med konjugatregeln. Den regeln som jag slavat med i tusen algebrauppgifter – tänk att den funkade på siffror och inte bara på bokstäver!
Nej, jag har inget favoritområde inom matematiken. Statistik är ju litet grått, jämföra median och medelvärde, beräkna standardavvikelse och korrelationskoefficient – hur kul är det på en skala? Fast samtidigt, när jag läser hur de riktigt smarta statistikerna lägger upp sina försök så att det ska gå att dra slutsatser från resultaten, då blir jag djupt imponerad. Om man kunde välja mellan att vara en matematiker på gatuplanet och en statistiker på översta våningen – vem vet?
