Fattar ej omvandlingen

Dubbla vinkeln för cosinus:

$$\begin{gathered} \cos \left(2x\right)=2{\cos }^2\left(x\right)-1 \\ 1+\cos \left(2x\right)=2{\cos }^2\left(x\right) \\ \frac{1+\cos \left(2x\right)}{2}={\cos }^2\left(x\right) \end{gathered}$$

Hängde du med?

sictransit skrev:

Dubbla vinkeln för cosinus:

$$\begin{gathered} \cos \left(2x\right)=2{\cos }^2\left(x\right)-1 \\ 1+\cos \left(2x\right)=2{\cos }^2\left(x\right) \\ \frac{1+\cos \left(2x\right)}{2}={\cos }^2\left(x\right) \end{gathered}$$

Hängde du med?

ja tack! Men varför omvandlade de ens cos^2(x)...Kunde de inte bara räkna integralen genom att ta primitiva funktionen av cos^2(x)?

Undrar också om det är så att de skrev om 1-sin^2(x) till cos^2(x) för enkelhetens skull?

Det vet jag inte. Kanske finns det någon pedagogisk poäng?

Hodlys skrev:

sictransit skrev:

Dubbla vinkeln för cosinus:

$$\begin{gathered} \cos \left(2x\right)=2{\cos }^2\left(x\right)-1 \\ 1+\cos \left(2x\right)=2{\cos }^2\left(x\right) \\ \frac{1+\cos \left(2x\right)}{2}={\cos }^2\left(x\right) \end{gathered}$$

Hängde du med?

ja tack! Men varför omvandlade de ens cos^2(x)...Kunde de inte bara räkna integralen genom att ta primitiva funktionen av cos^2(x)?

Undrar också om det är så att de skrev om 1-sin^2(x) till cos^2(x) för enkelhetens skull?

Att integrera cos²(x) är väl inte särskilt lätt? Hur hade du gjort det? 1/2(1+cos(2x)) är betydligt lättare.

sictransit skrev:

Det vet jag inte. Kanske finns det någon pedagogisk poäng?

Tack för svar! Det tror jag dock inte...jag tror det finns en större mening om är viktig att förstå. När jag räknade ut integralen av (1-sin^2(x)) fick jag att det blev odefinerat eftersom nämnaren blev 0. Och när jag räknade cos^2(x) fick jag ett negativ värde eller 0 (kommer inte riktigt ihåg)

Mrpotatohead skrev:

Hodlys skrev:

Visa föregående citat

sictransit skrev:

Dubbla vinkeln för cosinus:

$$\begin{gathered} \cos \left(2x\right)=2{\cos }^2\left(x\right)-1 \\ 1+\cos \left(2x\right)=2{\cos }^2\left(x\right) \\ \frac{1+\cos \left(2x\right)}{2}={\cos }^2\left(x\right) \end{gathered}$$

Hängde du med?

ja tack! Men varför omvandlade de ens cos^2(x)...Kunde de inte bara räkna integralen genom att ta primitiva funktionen av cos^2(x)?

Undrar också om det är så att de skrev om 1-sin^2(x) till cos^2(x) för enkelhetens skull?

Att integrera cos²(x) är väl inte särskilt lätt? Hur hade du gjort det? 1/2(1+cos(2x)) är betydligt lättare.

fick primitiva funktionen cos^2(x)/(-3sinx)

"1/2(1+cos(2x)) är betydligt lättare."

Ser tvetydigt ut.    1/[2(1+cos(2x))].  är väl inte heller så enkelt. :-)

Arktos skrev:

"1/2(1+cos(2x)) är betydligt lättare."

Ser tvetydigt ut.    1/[2(1+cos(2x))].  är väl inte heller så enkelt. :-)

Haha, kanske inte. Men om man jämför tycker jag sistnämnda är enklare😄

Det är ett elände med dessa enradingar.
Med bråkstreck blir det klart vad som är täljare och nämnare.
Men snedstreck (/) är inget bråkstreck utan ett divisionstecken.

(1/2)(1+cos(2x)). är OK.    Eller enklare  (1+cos(2x))/2

1/2(1+cos(2x)) tycker jag endast kan tolkas på ett sätt. Och den funktionen är väl inte särskilt svår?

Du har förstås rätt, om man stegvis följer de vanliga prioriteringsreglerna.

Den oklarhet jag ser, bygger på att multiplikationstecken inte sätts ut.
Hopskrivna faktorer har ett underförstått multiplikationstecken mellan sig.

Eftersom man här  inte använder den korta versionen (1+ cos(2x))/2
undrar jag därför om det inte kanske fattas ett par parenteser:   1/(2(1+ cos(2x)))

Här i PA är det ju vanligt att se "tappade parenteser"
vid övergång från bråk till enradingar.

Att integrera $\cos^2 x$ är väl inte heller så värst svårt? Med lite icke-ortodox notation:

$\displaystyle \int_{}^{}\cos^2x\mathrm{d}x=\int_{}^{}\frac{\mathrm{d}\sin x}{\mathrm{d}x}\cos x\mathrm{d}x=\int_{}^{}\cos x \cdot\mathrm{d}\left(\sin x\right)=\int_{}^{}\sqrt{1-\sin^2 x}\cdot\mathrm{d}\left( \sin x\right)=...$

Men detta är definitivt MYCKET krångligare än att bara göra omskrivningen som MrP föreslog. Men sådana omskrivningar kommer tyvärr inte fungera när du får högre grader, t.ex. $\cos^5\theta$ osv... Men sådana funktioner kommer du nog inte stöta på i den här mattekursen.

EDIT: nu när jag tänker efter kommer man nog bara gå i en cirkel om jag gör som jag skrev här. Det gängse sättet att lösa integralen nedan på:

$\displaystyle \int_{}^{}\mathrm{d}x\sqrt{1-x^2}$

Är just med substitutionen $x=\sin\theta$. Och i slutändan hamnar man i MrPs omskrivning ändå.

Att integrera något som är en produkt (t ex cos(x)^.cos(x) ) är väldigt mycket besvärligare än att integrera t ex en summa. Därför skriver man gärna om funktioner till något som gör uppgiften enklare att beräkna.

Arktos skrev:

Du har förstås rätt, om man stegvis följer de vanliga prioriteringsreglerna.

Den oklarhet jag ser, bygger på att multiplikationstecken inte sätts ut.
Hopskrivna faktorer har ett underförstått multiplikationstecken mellan sig.

Eftersom man här  inte använder den korta versionen (1+ cos(2x))/2
undrar jag därför om det inte kanske fattas ett par parenteser:   1/(2(1+ cos(2x)))

Här i PA är det ju vanligt att se "tappade parenteser"
vid övergång från bråk till enradingar.

Självklart är det onödigt att inte vara helt tydlig från början. Många här brukar inte sätta parenteser runt nämnaren, och då blir det självklart fel. Jag gjorde rätt, men uppenbarligen lite fel om jag orsakade förvirring. Att du trodde att jag eventuellt glömde parenteser var det som rörde till det.