Fartkamera

1. När vinkeln v i figuren är 45° läser polisen av att avståndet från instrumentet till den förbipasserande bilen ökar med 120km/h. Hur snabbt färdas bilen?
2. Vid ett senare tillfälle mäter polismannen mot en bil som färdas med hastighet 70 km/h. Vinkeln v i figuren bestäms nu till 30°. Med vilken hastighet avlägsnar bilen från instrumentet?
3. Polisens laserinstrument kan mäta hastigheter med mycket stor precision, men vinkeln v i figuren kan inte bestämmas bättre än med ett fel på +2° och -2°. Vilka vinklar bör polismannen begränsa sin mätning till om han vill vara säker på att han inte bestämmer hastigheten med ett större fel än 5%?

På fråga 1. fick jag att bilen färdas med hastigheten 170 km/h, vilket alltså är x'. På fråga 2. fick jag bilen avlägsnar med hastigheten 61 km/h från instrumentet. Inga konstigheter.

Här är alltså lösningen:

Men på fråga 3. fick jag fram två ekvationer som jag satte in i geogebra, och fick två punkter:

Genom att tolka polisen och bilen från diagrammet, hur kan man göra det. Jag menar att jag inte riktigt förstår vad vinklarna innebär och hur jag kan visa från diagrammet ovan hur det tolkar både polisens och bilens tillstånd?

Hej och välkommen på pluggakuten!

Betydelsen av vinklarna:
A) Om den faktiska vinkeln är 2 grader högre än polismannens avläsning, så överstiger felet i fordonshastigheten 5 % vid denna vinkel. (Hans mått är 5% för högt).
B) Om den faktiska vinkeln är 2 grader lägre än polismannens avläsning överstiger felet i fordonshastigheten 5 % vid denna vinkel. (Hans mått är 5% för lågt).

Du bör ta den högsta av dessa två vinklar som minimivinkel för att säkerställa att inget av ovanstående inträffar.

Ja, detta förstår jag, men hur kan man läsa av diagrammet och förklara hur det hänger ihop med frågan?

Så här kan du resonera:

1) Ta bort g(x) från geogebra (tillfälligt) och koncentrera dig på punkt A.

2) Polisen mäter h'(t) och beräknar x'(t,alfa). (Här är det lite förvirrande att du kallade vinkeln x i geogebra. Jag kommer att kalla det alfa.)

$x' (t, α) = \frac{h' (t)}{\cos (α)}$

Men alfa är i verkligheten 2^o större än vad han tror. Så blir cos(alfa) mindre och x'(t, alfa) större.

Frågan är: Vid vilken alfa blir $x' (t, α + 2 °) = x' (t, α) * 1, 05$ ?

$\frac{h' (t)}{\cos (α + 2 °)} = \frac{h' (t)}{\cos (α)} * 1, 05 1, 05 * \cos (α + 2 °) = \cos (α) h (α) = f (α)$

Och geogebras svar: alfa = 0,9906

Jag förstår inte riktigt sambandet mellan frågan och diagrammet jag har fått fram. Och hur kan jag förklara diagrammet, vad innebär x och y axlarna från den, vad innebär punkterna A och B. Det är jättesvårt och förstå.

Problemet är inte så komplicerat.

Polisen behöver dela mätningen med $\cos (α)$ för att få fordonens hastighet. Mätningen är perfekt, problemet är att alfa har ett relativt stort fel (plus/minus 2 grader).

Detta 2 graders fel i alfa påverkar resultatet. I vilken utsträckning plus/minus 2 grader påverkar resultatet beror på själva vinkeln (dvs alfa).

Exempel 1:

Polisen mäter 100 km/h
Han mäter alfa till 30 grader -> cos(30^o)=0,866025 -> polisen tycker att hastigheten är 100/0,866025 = 115,47 km/h
Alfa i verkligheten är 32 grader -> cos(32^o)=0,84805 -> den verkliga hastigheten är 117,92 km/h

Den relativa skillnaden är (117,92-115,47)/115,47 = 2,1%

Exempel 2:

Polisen mäter 100 km/h
Han mäter alfa till 70 grader -> cos(70^o)=0,34202 -> polisen tycker att hastigheten är 100/0,34202 = 292,4 km/h
Alfa i verkligheten är 72 grader -> cos(72^o)=0,309 -> den verkliga hastigheten är 323,6 km/h

Den relativa skillnaden är (323,6-292,4)/292,4 = 10,7%

-----------------

Vid vilken vinkel blir relativa skillnaden exakt 5%?

Denna ekvation visar det: cos(alfa) = 1.05*cos(alfa+2^o)

(Om felet är åt andra håll, blir ekvationen cos(alfa) = 1.05*cos(alfa-2^o))

-----------------

Man kan lösa ekvationen trigonometriskt eller grafiskt.

Och det är vad du gjorde (grafiska lösningen).

x-axeln betyder alfa, y-axeln är HL och VL i ovan nämnda ekvation.

Där graferna skär varandra ser man lösningen.

Svara

Visa senaste svar