Fart och normalkraft på hylsa (tidsintegrering)

Jag försöker lösa denna uppgift men förstår inte hur jag ska göra. Jag har försökt med kraftekvationerna i cylinderkoordinater och får:

er: m(r(prickprick) - r(theta(prick)^2) = 0 (1)

e(theta): m(r*theta(prickprick) - 2r(prick)*theta(prick) = N(theta) (2)

Där prick = första tidsderivatan och prickprick = andra tidsderivatan.

Jag tänker att man kan ställa upp

r(prickprick) = r(theta(prick)^2) från ekvation (1) och tidsintegrera denna för att på så sätt få reda på hastigheten. Men jag förstår inte hur man ska tidsintegrera, och förstår inte heller hur facit har gjort:

Kan någon förklara hur man ska tänka? Förstår inte steget när tidsintegreringen sker.

De menar nog multiplicera med $\dot{r}$ .

$\ddot{r} \dot{r} = \frac{1}{2} \frac{d}{d t} ({\dot{r}}^{2})$

$r \dot{r} = \frac{1}{2} \frac{d}{d t} (r^{2})$

Om det känns lite "trickbetonat" att plötsligt multiplicera med $\dot{r}$ kan vi istället lösa differentialekvationen på standardvis

$\ddot{r}-\omega^2r=0$

Karakteristisk ekvation $k^2-\omega^2=0,\quad k=\pm\omega$

$r(t)=Ae^{\omega t}+Be^{-\omega t}$

Med randvillkoren $r(0)=r_0$ samt $r^'(0)=0$ kan vi skriva lösningen som

$r(t)=r_0 \cosh(\omega t)$

Nu är det enkelt att derivera $r(t)$ med avseende på $t$ :

$\dot{r}(t)=r_0\omega \sinh(\omega t)$

Övriga samband följer av villkoret $r(t_{l})=l$ och "hyperboliska ettan" $\cosh^2(x)-\sinh^2(x)=1$ .

Svara