7 svar

37 visningar

Färdigställa en kvadratkomplettering

Hej! Jag försöker lösa följande uppgift:

Jag har försökt att kvadratkomplettera $x^{2} + 5 x = 0$

För att det ska bli en kvadrat i stil med ${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ , där $a^{2} = x^{2}$ och $2 a b = 5 x$ så har jag tänkt att det som saknas är $b^{2} = \frac{25}{4}$ , vilket borde ge:

${(x + \frac{5}{2})}^{2}$

Detta skulle delvis stämma överens med uppgiftens högerled ${(x + \frac{k}{m})}^{2} + (\frac{p}{q})$

alltså skulle $k = 5$ och $m = 2$

Frågan jag ställer mig är var kommer $(\frac{p}{q})$ ifrån?

Förmodligen har jag snurrat till detta ordentligt och eftersom jag inte finner någon uppgift i boken som är ställd på liknande vis så frågar jag här. Tack!

Hej och välkommen till Pluggakuten!

p/q är den term du måste komplettera med (dvs lägga till) för att uttrycket x²+5x ska bli en jämn kvadrat. Denna term ska vara lika med (hälften av koefficienten framför x-termen) i kvadrat.

Därav namnet "kvadrat komplettering" (särskrivet för tydlighetens skull)

Yngve skrev:
p/q är den term du måste komplettera med (dvs lägga till) för att uttrycket x²+5x ska bli en jämn kvadrat. Denna term ska vara lika med (hälften av koefficienten framför x-termen) i kvadrat.

Det jag har tänkt komplettera $x^{2} + 5 x$ med för att det ska bli en jämn kvadrat är $\frac{25}{4}$ . På så vis kan jag skriva ${(x + \frac{5}{2})}^{2}$ . Därmed tänker jag att uppgiften borde vara löst. Alltså såhär:

$x^{2} + 5 x = {(x + \frac{k}{m})}^{2}$ till $x^{2} + 5 x = {(x + \frac{5}{2})}^{2}$ . Ska jag även lägga till hälften av koefficienten framför x-termen i kvadrat så ser svaret ut såhär:

$x^{2} + 5 x = {(x + \frac{5}{2})}^{2} + (\frac{25}{4})$ Jag ser inte hur detta skulle bli en jämn kvadrat utan det borde räcka utan p/q.

Räkneproblem skrev:

Det jag har tänkt komplettera $x^{2} + 5 x$ med för att det ska bli en jämn kvadrat är $\frac{25}{4}$ . På så vis kan jag skriva ${(x + \frac{5}{2})}^{2}$ . Därmed tänker jag att uppgiften borde vara löst. Alltså såhär:

$x^{2} + 5 x = {(x + \frac{k}{m})}^{2}$ till $x^{2} + 5 x = {(x + \frac{5}{2})}^{2}$ . Ska jag även lägga till hälften av koefficienten framför x-termen i kvadrat så ser svaret ut såhär:

$x^{2} + 5 x = {(x + \frac{5}{2})}^{2} + (\frac{25}{4})$ Jag ser inte hur detta skulle bli en jämn kvadrat utan det borde räcka utan p/q.

Du kan tänka så här:

Vi kallar uttrycket vi vill kvadratkomplettera $P(x)$ , dvs $P(x)=x^2+5x$ .

Lägg nu till och dra ifrån (halva koefficienten framför x-termen) i kvadrat. Det ändrar inte uttryckets värde:

$P(x)=x^2+5x=x^2+5x+(\frac{5}{2})^2-(\frac{5}{2})^2$

De första tre termerna kan nu med hjälp av första kvdreringsregeln skrivas $(x+\frac{5}{2})^2$ , vilket ger oss

$P(x)=(x+\frac{5}{2})^2-(\frac{5}{2})^2$ .

Därmed är uttrycket kvadratkompletterat och du kanske nu ser vad p och q ska vara?

Yngve skrev:
du kanske nu ser vad p och q ska vara?

Jag kanske förstår nu. Först har jag $x^{2} + 5 x$ som jag vill kvadratkomplettera. Första kvadreringsregeln lyder ${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ . Därmed ser jag att i $x^{2} + 5 x$ utgör $a^{2} = x^{2}$ och $2 b = 5$ . Alltså utgör $b = \frac{5}{2}$ . Vilket innebär att jag saknar $b^{2} = {(\frac{5}{2})}^{2}$ . Detta kompletterar jag genom att skriva:

$x^{2} + 5 x + {(\frac{5}{2})}^{2} - {(\frac{5}{2})}^{2}$ . Uttryckets värde är detsamma som tidigare eftersom jag både adderat och subtraherat samma värde (de tar ut varandra). Nu kan jag skriva om uttrycket till ${(x + \frac{5}{2})}^{2} - {(\frac{5}{2})}^{2}$ .

Uppgiften bad om att färdigställa kvadratkompletteringen $x^{2} + 5 x = {(x + \frac{k}{m})}^{2} + (\frac{p}{q})$ . Eftersom värdena nu är kända kan jag skriva att $k = 5$ , $m = 2$ , $p = - 25$ och $q = 4$ . Det luriga här är att uppgiftens uttryck lyder $+ (\frac{p}{q})$ , alltså additionstecken före parantesen samt att innehållet i parantesen ej är upphöjt till 2. Alltså behövde jag både byta tecken och skriva om vad innehållet i parantesen blir efter att det multiplicerats en gång med sig självt. Inte helt hundra på att jag har rätt här.

En annan uppgift som följer samma anda som den tidigare lyder:

"Kvadratkomplettera uttrycket $x^{2} - 12 x - 6 = {(x + k)}^{2} + m$ " där värdet för k och m efterfrågas.

Jag kikar då på andra kvadreringsregeln ${(a - b)}^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$ . Det jag då ser är att $a^{2} = x^{2}$ , $a = x$ , $2 b = - 12$ , $b = \frac{- 12}{2} = - 6$ och $b^{2} = {(- 6)}^{2} = 36$ . Det jag saknar för att uttrycket ska bli till en jämn kvadrat är alltså $36$ eller ${(6)}^{2}$ . Därför adderar jag ${(6)}^{2}$ till uttrycket. Men för att uttrycket ska behålla sitt värde subtraherar jag samtidigt med ${(6)}^{2}$ . Alltså: $x^{2} - 12 x - 6 + {(6)}^{2} - {(6)}^{2}$ . Och nu kan jag skriva om uttrycket till ${(x - 6)}^{2} - 6 - {(6)}^{2}$ . Alltså blir värdena som uppgiften efterfrågade: $k = - 6$ och $m = - 6 - {(6)}^{2} = - 42$ .

Kanske blev ganska rörigt...

Du har greppat det viktigaste:

Om uttrycket innehåller x² + 5x + ... så ger femman oss ( x + 5/2 )² + Någonting

Om uttrycket innehåller x² - 12x + ...så ger tolvan oss ( x - 12/2 )² + Någonting

Sedan gäller det "bara" att hålla ordning på det där "Någonting"

(x-6)² blir x² - 12x + 36, så du måste dra bort 42 för att komma till -6.

Bubo skrev:
Du har greppat det viktigaste:

Om uttrycket innehåller x² + 5x + ... så ger femman oss ( x + 5/2 )² + Någonting

Om uttrycket innehåller x² - 12x + ...så ger tolvan oss ( x - 12/2 )² + Någonting

Sedan gäller det "bara" att hålla ordning på det där "Någonting"

(x-6)² blir x² - 12x + 36, så du måste dra bort 42 för att komma till -6.

Försöker med en tredje uppgift:

"Färdigställ kvadratkompletteringen:

$10 x^{2} - 20 x + 100 = k ({(x + m)}^{2} + p)$ "

Rent spontant ser jag att hela uttrycker är delbart med $10$ och på så vis kan jag bli av med det problematiska $10$ ur $10 x^{2}$ :

$\frac{10 x^{2} - 20 x + 100}{10}$

Men jag kommer också ihåg att om jag delar uttrycket med något måste jag samtidigt multiplicera uttrycket lika mycket. Alltså:

$10 (\frac{10 x^{2} - 20 x + 100}{10})$

Divisionen ger:

$10 (x^{2} - 2 x + 10)$

Nu kikar jag på andra kvadreringsregeln $(a - b) = a^{2} - 2 a b + b^{2}$ . I mitt fall är $a = x$ , $a^{2} = x^{2}$ , $2 b = - 2$ , $b = \frac{- 2}{2} = - 1$ och $b^{2} = {(- 1)}^{2} = 1$ . Jag adderar och subtraherar därför uttrycket med $1$ :

$10 (x^{2} - 2 x + 10 + 1 - 1)$

Nu skriver jag ihop kvadraten i uttrycket:

$10 ({(x - 1)}^{2} + 10 - 1)$

Och subtraherar:

$10 ({(x - 1)}^{2} + 9)$

Och därmed är k, m och p kända (tror jag):

$k = 10$ , $m = - 1$ och $p = 9$ .

Ganska kluriga uppgifter tycker jag. Är fundersam över om jag tänker "rätt" eller om jag löser dem ineffektivt.

Jag skulle tänka så här:

Jag börjar med att bryta ut faktorn 10.

Uttrycket blir då $10(x^2-2x+10)$

Kvadratkompletterar uttrycket innanför parenteserna genom att addera och subtrahera (halva koefficienten framför x-termen) i kvadrat:

$10(x^2-2x+1^2-1^2+10)$

Snygga till uttrycket:

$10(x^2-2x+1^2+9)$

Använd andra kvadreringsregeln för att skriva om de tre första termerna innanför parenteserna:

$10((x-1)^2+9)$

=====

Ett bra tips är att alltid kontrollera sitt resultat genom att utveckla kvadraten och förenkla uttrycket. Om resultatet då blir samma som ursprungsuttrycket så var kvadratkompletteringen korrekt, annars inte.

Svara

Visa senaste svar