Faradays lag

Det är arean som magnetfältet går igenom vinkelrätt som avses tror jag.

Fysikern20 skrev:

 A(t) = fπl^2 t   , med en frekvens f vid tiden t. Men vad är arean relativt? Asså är arean relativt någon axel? 

Förmodligen undrar de flesta här hur de ska läsa den formeln. Jag gissar att du menar $A(t) = f \pi \ell^2 t$ där $\ell$ är längden av den staven som du nämnde (utan beteckning) och $A(t)$ den utsvepta arean. Efter ett varv det vill säga efter en period T=1/f är det arean av en cirkel med radie $\ell.$

Så det är relativt till någon starttid t=0. 

Det enda som är relevant för spänningen är $\dfrac{{\rm d}\Phi}{{\rm d}t}$ som är proportionell mot stavens vinkelhastighet $\omega$ kring fästet.

Magnus O skrev:

Det är arean som magnetfältet går igenom vinkelrätt som avses tror jag.

Arean av det magnetfält som går igenom staven? 

Pieter Kuiper skrev:

Fysikern20 skrev:

 A(t) = fπl^2 t   , med en frekvens f vid tiden t. Men vad är arean relativt? Asså är arean relativt någon axel? 

Förmodligen undrar de flesta här hur de ska läsa den formeln. Jag gissar att du menar $A(t) = f \pi \ell^2 t$ där $\ell$ är längden av den staven som du nämnde (utan beteckning) och $A(t)$ den utsvepta arean. Efter ett varv det vill säga efter en period T=1/f är det arean av en cirkel med radie $\ell.$

Så det är relativt till någon starttid t=0. 

Det enda som är relevant för spänningen är $\dfrac{{\rm d}\Phi}{{\rm d}t}$ som är proportionell mot stavens vinkelhastighet $\omega$ kring fästet.

Men är inte arean som avses den arean som går igenom ledaren?

Här är ett i mitt tycke bättre resonemang för gymnasister.

I en rak ledare med längden $L$ som rör sig med hastigheten $v$ vinkelrätt mot ett magnetfält $B$ induceras en spänning

$|\varepsilon | = lvB$

Potentialen uppstår då varje enskild elektron i ledaren påverkas av en kraft $F=e^{-}vB$ som gör att elektronerna ansamlas i stavens ena ände.

Om vi delar upp en ledare som roteras med vinkelhastigheten $\omega$ kring en fix axel (vinkelrätt mot magnetfältet) i ett stort antal väldigt små delar $\Delta r$ får varje del hastigheten $v=r\omega$ där $r$ är avståndet till den fixa axeln.

Summerar vi alla små delar över hela stavens längd och låter $\Delta r$ gå mot $dr$ således

$\left|\varepsilon\right|=\displaystyle \int_0^L dr\left(r\omega\right)B=\frac12 B\omega L^2$

Fysikern20 skrev:

Pieter Kuiper skrev:

$A(t) = f \pi \ell^2 t$ där $\ell$ är stavens längd och $A(t)$ den utsvepta arean.

Efter ett varv det vill säga efter en period T=1/f är det arean av en cirkel med radie $\ell.$

Men är inte arean som avses den arean som går igenom ledaren?

Nej. Arean som avses är den utsvepta arean eller som du skrev den "tillryggalagda" arean. Efter att stången har snurrat ett varv kring fästet vid ändpunkten är det cirkelns area $\pi r^2.$

D4niel visade sambandet med de mer kända formlerna för translationsrörelse.

Pieter Kuiper skrev:

Fysikern20 skrev:

Visa föregående citat

Pieter Kuiper skrev:

$A(t) = f \pi \ell^2 t$ där $\ell$ stavens längd och $A(t)$ den utsvepta arean.

Efter ett varv det vill säga efter en period T=1/f är det arean av en cirkel med radie $\ell.$

Men är inte arean som avses den arean som går igenom ledaren?

Nej. Arean som avses är den utsvepta arean eller som du skrev den "tillryggalagda" arean. Efter ett varv är det cirkelns area $\pi r^2.$

D4niel visade sambandet med de mer kända formlerna för translationsrörelse.

Okej! Så kan vi säga att arean i Φ=BA, och således i faradays lag : e=dΦ/dt, alltid är den "tillryggalagda" arean, för arean ökar ju, men vilken är den s.k "fixed point" och axeln? Om vi säger att den fixta punkten är där staven börjar så låter allt rimligt. 

Fysikern20 skrev:

vilken är den s.k "fixed point" och axeln?  

Nu gav du inte uppgiftens exakta ordalydelse men det är fästet vid ena änden. Axeln är vinkelrät på stången och på planet som den snurrar runt i.

Fältet är parallellt med rotationsaxeln, antar jag att det är givet i uppgiften.

Pieter Kuiper skrev:

Fysikern20 skrev:

vilken är den s.k "fixed point" och axeln?  

Nu gav du inte uppgiftens exakta ordalydelse men det är fästet vid ena änden. Axeln är vinkelrät på stången och på planet som den snurrar runt i.

Fältet är parallellt med rotationsaxeln, antar jag att det är givet i uppgiften.

Min bok beskriver Arean i magnetisk flux som följer:

Det står ”ytans area” , vilken yta? Och vad är ytan i vårt exempel med roterande stav? 

Fysikern20 skrev:

Det står ”ytans area” , vilken yta? Och vad är ytan i vårt exempel med roterande stav? 

Vanligtvis är det den inneslutna arean av en platt slinga av en ledare. Det är det som är relevant i elektroteknik.

Med dessa stavar i rörelse (utan anslutningstrådar!?!) handlar det vid induktion om den utsvepta arean. Konceptuellt är det ganska abstrakt. Tidigare har man kanske sagt att det beror på antalet fältlinjer som staven skär igenom.

Pieter Kuiper skrev:

Fysikern20 skrev:

Det står ”ytans area” , vilken yta? Och vad är ytan i vårt exempel med roterande stav? 

Tidigare har man kanske sagt att det beror på antalet fältlinjer som staven skär igenom.

Så då kan vi säga att arean representerar en innesluten yta (om det som avses innesluts) om det inte innesluts men roterar så kan arean beskriva antalet fältlinjer som skär igenom staven. Men jag menar om så är fallet är väl arean konstant, eftersom fältlinjerna är "utsprida" lika mycket då fältet är homogent, det måste finnas en fix punkt man avser. 

Som sagt, det finns en del konceptuella problem med detta. Genom att grubbla över sådant kom Einstein på relativitetsteorin ("elektrodynamik av kroppar i rörelse" heter artikeln). Då ser man att elektriska fält och magnetiska fält blir samma sak. Enklast vid rätlinjig rörelse, rotation blir jobbigare.

Pieter Kuiper skrev:

Som sagt, det finns en del konceptuella problem med detta. Genom att grubbla över sådant kom Einstein på relativitetsteorin ("elektrodynamik av kroppar i rörelse" heter artikeln). Då ser man att elektriska fält och magnetiska fält blir samma sak. Enklast vid rätlinjig rörelse, rotation blir jobbigare.

Ja, det är abstrakt tycker jag. 

Faradays lag $\varepsilon = -\frac{d\Phi}{dt}$ gäller inducerad emf i en stationär sluten krets.

Om man försöker tillämpa den på ett fall där den egentligen inte gäller, t.ex. på en stav som rör sig, blir det lätt lite konstigt. Man måste då låtsas att staven uppfyller villkoren, dvs står stilla. Då reducerar den allmänna varianten av Faradays lag till den speciella som man lär sig på gymnasiet.

I modern fältteori använder man istället induktionspostulatet (från Maxwell)

$\nabla \times \mathbf{E}=-\frac{d\mathbf{B}}{dt}$

Genom att använda Stokes lag på ett område $S$ omslutet av $C$ med hastigheten $\mathbf{u}$ i fältet $\mathbf{E,B}$ är den allmänna formen (Faradays lag för en krets som rör sig ett ett tidsvarierande magnetfält)

$\displaystyle \oint_C\mathbf{E}^\prime\cdot d\mathbf{l}=-\int_S\frac{d\mathbf{B}}{dt}\cdot d\mathbf{s}+\oint_C(\mathbf{u}\times \mathbf{B})\cdot d\mathbf{l}$

Vi har alltså två termer, en från förändringen av magnetfältet och en som visar rörelseinducerad emf.  Jmfr engelska (transformer emf och motional emf).

D4NIEL skrev:

Faradays lag $\varepsilon = -\frac{d\Phi}{dt}$ gäller inducerad emf i en stationär sluten krets.

Om man försöker tillämpa den på ett fall där den egentligen inte gäller, t.ex. på en stav som rör sig, blir det lätt lite konstigt. Man måste då låtsas att staven uppfyller villkoren, dvs står stilla. Då reducerar den allmänna varianten av Faradays lag till den speciella som man lär sig på gymnasiet.

I modern fältteori använder man istället induktionspostulatet (från Maxwell)

$\nabla \times \mathbf{E}=-\frac{d\mathbf{B}}{dt}$

Genom att använda Stokes lag på ett område $S$ omslutet av $C$ med hastigheten $mathbf{u}$ i fältet $\mathbf{E,B}$ är den allmänna formen (Faradays lag för en krets som rör sig ett ett tidsvarierande magnetfält)

$\displaystyle \oint_C\mathbf{E}^\prime\cdot d\mathbf{l}=-\int_S\frac{d\mathbf{B}}{dt}\cdot d\mathbf{s}+\oint_C(\mathbf{u}\times \mathbf{B})\cdot d\mathbf{l}$

Vi har alltså två termer, en från förändringen av magnetfältet och en som visar rörelseinducerad emf.  Jmfr engelska (transformer emf och motional emf).

Hur kan man med maxwells tredje besvara min fråga?

Fysikern20 skrev:

Hur kan man med maxwells tredje besvara min fråga?

Om man tillämpar Stokes sats på båda sidor får man integralvarianten

$\displaystyle \oint_C\mathbf{E}\cdot d\mathbf{l}=-\int_S\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}\cdot d\mathbf{s}$

För en observatör som rör sig med staven i ditt exempel verkar en testladdning $q$ påverkas en av en  elektrisk kraft $F=\mathbf{E}q$

$\mathbf{F}_m/q=\mathbf{u}\times \mathbf{B}$

Det kan vi välja att tolka som ett inducerad E-fält (jmfr $\mathbf{E}$ ovan)

$\displaystyle V_{21}=\int_1^2(\mathbf{u}\times \mathbf{B})\cdot d\mathbf{l}$ Jämfär med ovanstående term $\displaystyle \left(=\oint_C\mathbf{E}\cdot d\mathbf{l}\right)$

Det brukar kallas rörelseinducerad emf eller "flux cutting emf".

D4NIEL skrev:

Fysikern20 skrev:

Hur kan man med maxwells tredje besvara min fråga?

Om man tillämpar Stokes sats på båda sidor får man integralvarianten

$\oint_C\mathbf{E}\cdot d\mathbf{l}=-\int_S\frac{d\mathbf{\partial B}}{\partial t}\cdot d\mathbf{s}$

För en observatör som rör sig med staven i ditt exempel verkar påverkas en testladdning av en  magnetisk kraft

$\mathbf{F}_m/q=\mathbf{u}\times \mathbf{B}$

Det kan vi välja att tolka som ett inducerad E-fält (jmfr $\mathbf{E}$ ovan)

$\V_{21}=\int_1^2(\mathbf{u}\times \mathbf{B})\cdot d\mathbf{l}$

Det brukar kallas rörelseinducerad emf eller "flux cutting emf".

Kan vi då konstatera att det blir inkorrekt att använda faradays lag , ε=−dΦ/dt, i det exemplet med en stav som roterar? 

Ja, du måste ta hänsyn till att staven roterar.

Den variant av Faradays lag man lär sig på gymnasiet gäller emf inducerad i en stationär sluten slinga.

Det finns varianter av Faradays lag som tar hänsyn till rörelse. Alla varianter av Faradays lag kan härledas från Maxwells lag om relationen mellan ett tidsvarierande magnetfält och rotationen av E-fältet.

Du kommer förmodligen stöta på slingor med konstant area som roterar i ett konstant magnetfält. Då går det att använda Faradays lag, men man måste låta "den exponerade arean" vara tidsberoende, A(t) vilket gör att flödet $\frac{d\Phi}{dt}$, varierar.

Det är dock en tämligen krystad och oren applikation vilket försvårar förståelsen för uppgifter av den sort du just pratat om (stav som roterar i ett magnetfält), eftersom det genast uppstår frågor som "Vad är den slutna slingan?" och "vad är arean?".

D4NIEL skrev:

Ja, du måste ta hänsyn till att staven roterar.

Den variant av Faradays lag man lär sig på gymnasiet gäller emf inducerad i en stationär sluten slinga.

Det finns varianter av Faradays lag som tar hänsyn till rörelse. Alla varianter av Faradays lag kan härledas från Maxwells lag om relationen mellan ett tidsvarierande magnetfält och rotationen av E-fältet.

Du kommer förmodligen stöta på slingor med konstant area som roterar i ett konstant magnetfält. Då går det att använda Faradays lag, men man måste låta "den exponerade arean" vara tidsberoende, A(t) vilket gör att flödet $\frac{d\Phi}{dt}$, varierar.

Det är dock en tämligen krystad och oren applikation vilket försvårar förståelsen för uppgifter av den sort du just pratat om (stav som roterar i ett magnetfält).

Ja, den va konstig. 

eftersom det genast uppstår frågor som "Vad är den slutna slingan?" och "vad är arean?".

Precis