Får en DE ha komplexa konstanter i lösningen?

Hej!

Om jag har en lösning till en homogen differentialekvation av andra ordningen, på formen

$y = e^{α x} (A \cos (β x) + B \sin (β x))$

finns det något krav på att konstanterna A och B är reella tal eller kan de vara komplexa?

Jag härleder - med hjälp av differentialoperator - en lösning till en sådan DE, så blir det lite enklare att förstå varför jag ställer frågan.

$y^{''} + ω^{2} y = 0 (D^{2} + ω^{2}) y = 0 (D^{2} - i^{2} ω^{2}) y = 0 (D - i ω) (D + i ω) y = 0 z = (D + i ω) y (e k v a t i o n 1) (D - i ω) z = 0 z^{'} - i ω z = 0 I F = e^{- i ω x} e^{- i ω x} (z^{'} - i ω z) = e^{- i ω x} \times 0 e^{- i ω x} z^{'} - e^{- i ω x} i ω z = 0 {(e^{- i ω x} z)}^{'} = 0 e^{- i ω x} z = C z = e^{i ω x} C (e k v a t i o n 2) s ä t t i n (2) i (1) : (D + i ω) y = e^{i ω x} C y^{'} + i ω y = e^{i ω x} C I F = e^{i ω x} e^{i ω x} (y^{'} + i ω y) = e^{i ω x} e^{i ω x} C {(e^{i ω x} y)}^{'} = e^{2 i ω x} C e^{i ω x} y = \frac{e^{2 i ω x} C}{2 i ω} + D y = e^{- i ω x} (\frac{e^{2 i ω x} C}{2 i ω} + D) y = \frac{C}{2 i w} \cdot e^{- i ω x} e^{2 i ω x} + D e^{- i ω x} y = E \cdot e^{i ω x} + D e^{- i ω x} Eulers ekvation: e^{i v} = \cos v + i \sin v y = E (\cos (ω x) + i \sin (ω x)) + D (\cos (- ω x) + i \sin (- ω x)) Eftersom cos är en jämn funktion och sin ojämn skriver vi om: y = E (\cos (ω x) + i \sin (ω x)) + D (\cos (ω x) - i \sin (ω x)) y = \cos (ω x) (E + D) + \sin (ω x) (i E - i D) y = \cos (ω x) F + \sin (ω x) G Således är G komplex, och förmodligen F också, eftersom E också skapades från ett komplext tal.$

Är det okej att konstanterna är komplexa? Eller behöver man dribbla mer innan härledningen är klar? Om ekvationen är svår att följa, säg gärna till så lägger jag till fler kommentarer. Detta är mitt första inlägg på pluggakuten så jag är lite ovan.

mvh,

Gustav

Om man utgår från att uppgiften är att lösa diffekvationen så bör den som gett denna ekvation ange om man söker enbart reella lösningar eller komplexa. Detta kan också framgå av sammanhanget. Ekvationen kan t ex ha uppstått i samband med ett fysikaliskt problem som kräver reella lösningar.

Handlar uppgiften istället om att man ska visa, att den givna funktionen är en allmän lösning till diffekvationen, så kan man konstatera att denna givna funktion y kan skrivas som y= a *f(x)+ib*g(x) där a, b och fknerna f och g är reella. (I din Eulerekv. är v ett reellt tal) Eftersom din differential-operator är linjär måste både realdelen och imaginärdelen lösa ekvationen (dvs tillhöra nollrummet till operatorn).

Min uppfattning är därför att A och B får vara komplexa om inget annat anges.

Jag tror jag förstår.

Jag tror jag förvirras lite av att mina konstanter G och F "byggs upp" av komplexa tal enligt min härledning. Jag tänkte därför att dessa konstanter därmed inte kan vara reella, när man väl ska hitta en partikulärlösning, vilket då motsäger att de är godtyckliga. Jag misstänkte att ett steg fattades i härledningen där man gör om dessa till reella (på något vis..).

Svara