Faltnings integral

Impulssvaret är utsignalen när diracpulsen skickats in i systemet som insignalen, d.v.s. $-3 u(t-5) = \mathcal{H}\{\delta(t)\}$.

Utsignalen $y(t)$ för en godtycklig insignal $x(t)$ beräknas som faltningen av insignalen och impulssvaret, vilket är nog det samband som dyker upp på nästa rad/nästa presentationsbild, d.v.s.

$y\left(t\right) = \left(x * h\right)\left(t\right) = \displaystyle \int_0^t x\left(\tau\right) h\left(t-\tau\right) d\tau$

där $h(t) = -3u(t-5)$ är det givna impulssvaret. I synnerhet blir

$\displaystyle y\left(8\right) = \int_0^8 \underbrace{x\left(\tau\right)}_{=1\ om\ \tau \in [0, 3)} h\left(8-\tau\right)\,d\tau = \int_0^3 h\left(8-\tau\right) d\tau = \int_0^3 -3 u\left(\left(8-\tau\right)-5\right)\,d\tau$

Sätt in $u$ och integrera. (Nu vet jag inte vilken funktion ni betecknat med $u(t)$. Kanske enhetssteget?)

LuMa07 skrev:

Impulssvaret är utsignalen när diracpulsen skickats in i systemet som insignalen, d.v.s. $-3 u(t-5) = \mathcal{H}\{\delta(t)\}$.

 

Utsignalen $y(t)$ för en godtycklig insignal $x(t)$ beräknas som faltningen av insignalen och impulssvaret, vilket är nog det samband som dyker upp på nästa rad/nästa presentationsbild, d.v.s.

$y\left(t\right) = \left(x * h\right)\left(t\right) = \displaystyle \int_0^t x\left(\tau\right) h\left(t-\tau\right) d\tau$

där $h(t) = -3u(t-5)$ är det givna impulssvaret. I synnerhet blir

$\displaystyle y\left(8\right) = \int_0^8 \underbrace{x\left(\tau\right)}_{=1\ om\ \tau \in [0, 3)} h\left(8-\tau\right)\,d\tau = \int_0^3 h\left(8-\tau\right) d\tau = \int_0^3 -3 u\left(\left(8-\tau\right)-5\right)\,d\tau$

Sätt in $u$ och integrera. (Nu vet jag inte vilken funktion ni betecknat med $u(t)$. Kanske enhetssteget?)

ja u(t) är enhetssteget, är lite förvirrad nu varför drog du integralen från  till 8? Förstår att det blir principiellt samma sak men kan vi inte först härleda y(t)? om h(t) ? -3u(t-5) är h(t-tau) = -3u(t-5-tau)?

Får vi inte tre olika intervall att undersöka dessutom och därmed tre integraler?

Jag såg i uppgiften att man skulle ange $y(8)$, så jag fokuserade på den frågan. Sätter man in $t=8$ i sambandet $y(t) = \int_0^t x(\tau) h(t-\tau)\,d\tau$, så får man integralen från 0 till 8.

Vill man ta fram $y(t)$ för ett allmänt värde på $t$, så behöver man (precis som du skrivit) göra en falluppdelning.

Helt allmänt blir

$y(t) = \int_0^t x(\tau) h(t-\tau)\,d\tau = -3 \int_0^t x(\tau) u(t-\tau-5)\,d\tau$, där $t \ge 0$.

Börja med att undersöka värden på $u(t-\tau -5)$:

• Enhetssteget med en sådan input är lika med 1, när $t-\tau-5 > 0$, d.v.s. när $\tau < t-5$.
• Enhetssteget med en sådan input är lika med 0, när $\tau > t-5$.

Det innebär att $u(t-\tau -5) = 0$ på hela integrationsintervallet ifall $t \le 5$.

Fall A: Om $t \le 5$, så är $y\left(t\right) = -3 \int_0^t x\left(\tau\right) \underbrace{u(t-\tau-5)}_{=0}\,d\tau = 0$.

Fall B: Om $t > 5$, så är $y\left(t\right) = -3 \int_0^t x\left(\tau\right) \underbrace{u(t-\tau-5)}_{=0 \ om \ \tau > t-5}\,d\tau = -3 \int_0^{t-5} x\left(\tau\right) \, d\tau$.

Eftersom $x(\tau)$ beter sig olika om $\tau < 3$ eller $\tau > 3$, så behöver Fall B vidare uppdelas beroende på om övre integrationsgränsen $t-5$ överstiger talet 3 eller inte.

Fall B.1: Om $5 < t \le 8$, så är $x(\tau) = 1$ på hela integrationsintervallet $(0, t-5)$, så $y(t) = -3 \int_0^{t-5} 1 \,d\tau = -3(t-5)$.

Fall B.2: Om $t > 8$, så är $x(\tau)=1$ på intervallet $(0, 3)$ som är en äkta delmängd till integrationsintervallet $(0, t-5)$. Därmed är $y(t) = -3 \int_0^3 1 \,d\tau = -9$.

Sammanfattning: $y\left(t\right)=\left\{\begin{array}{lc}0& om\;t < 5\\-3(t-5)&om\;5\leq t < 8\\-9&om\;t\geq8\end{array}\right.$

Man kan också sammanfoga dessa fall i en enda formel och då blir $y(t) = (15-3t) (u(t-5) - u(t-8)) -9 u(t-8)$, $t \in \mathbb{R}$.