Faltning stegfunktion

Hej,

Notera att integralen sträcker sig över hela $\mathbb{R}$ och integranden är

    $e^{2(t-x)}\chi_{[t,\infty)}(x)u(x)$.

Hur kom du fram till det? 

Med X[t,oo), menas samma sak som X(x-t)?

Beteckningen $\chi_{[t,\infty)}(x)$ är den karakteristiska funktionen för intervallet $[t,\infty)$.

Hur vet man om den ska vara på samma sida om * som f eller u?

Integralen är därför en faltning av funktionerna $f(x)=e^{2x}$ och $g(x)=\chi_{[t,\infty)}(x)u(x)$.

    $u(t)+(f*g)(t)=h(t).$

Man kan betrakta produkten $e^{2x}\chi_{[t,\infty)}(x)=K(x,t)$ som en integralkärna (integral kernel).

Men i lösningen verkar den tillhöra f istället?

Med kärnan skrivs ekvationen

    $u(t)+\int_{-\infty}^{\infty}K(x,t)u(x)\,dx=h(t).$

Vet inte riktigt vad kärna är, men menar du att man får samma svar från e^2tX[t,oo)*u och e^2t*uX[t,oo)?

Albiki skrev:

Integralen är därför en faltning av funktionerna $f(x)=e^{2x}$ och $g(x)=\chi_{[t,\infty)}(x)u(x)$.

    $u(t)+(f*g)(t)=h(t).$

Man kan betrakta produkten $e^{2x}\chi_{[t,\infty)}(x)=K(x,t)$ som en integralkärna (integral kernel).

Jag skrev fel kärna här. Den ska vara

    $K(x,t) = e^{-2(x-t)}\chi_{[t,\infty)}(x)$,

som även kan skrivas

    $K(x,t) = e^{-2(x-t)}\chi_{[0,\infty)}(x-t) = f(x-t)$,

vilket visar att kärnan är en faltnings-kärna. Ekvationen skrivs därför som

    $u(t) + \int_{-\infty}^{\infty}f(x-t)u(x)\,dx = h(t),$

där funktionen $f(y) = e^{-2y}\chi_{[0,\infty)}(y)$ och $h(t) = 2e^{t} \chi_{[0,\infty)}(t).$

Laplacetransformerar man integralekvationen får man 

    $U(s) + F(s)U(s) = H(s) \iff U(s) = \frac{H(s)}{1+F(s)},$

där $F(s) = \frac{1}{s+2}$ och $H(s) = \frac{2}{s-1}$ vilket ger

    $U(s) = \frac{2(s+2)}{(s-1)(s+3)} = \frac{3}{2(s-1)}+\frac{1}{2(s+3)}.$

Den motsvarande funktionen $u(t)$ är därför 

    $u(t) = (\frac{3}{2}e^{t}+\frac{1}{2}e^{-3t})\chi_{[0,\infty)}(t)\ , \quad t\in\mathbb{R}$

Micimacko skrev:

Vet inte riktigt vad kärna är, men menar du att man får samma svar från e^2tX[t,oo)*u och e^2t*uX[t,oo)?

Menar du faltning när du skriver * här? 

Det gäller ju allmänt att faltning är kommutativ. 

Ja * är faltning. Men jag har inte bytt plats på hela funktionerna, bara X

Integralen ska ses som en operator som tar in den okända funktionen $u$ och levererar funktionen

    $v(t) = \int_{\mathbb{R}} e^{-2(x-t)}\chi_{[0,\infty]}(x-t)u(x)\,dx.$

Med andra ord har man här att göra med en operator, $T$.

Finns det någon funktion $u$ som är sådan att operatorn $(1+T)$ levererar den specifika funktionen $2e^{t}\chi_{[0,\infty)}(t)$ då man stoppar in funktionen $u$ till operatorn?

Den ursprungliga ekvationen kan därför formuleras kortfattat:

Finn lösningar till ekvationen $(1+T)u=h.$

Jag har verkligen ingen aning. Vet inte om vi har pratat om operator än.

Micimacko skrev:

Jag har verkligen ingen aning. Vet inte om vi har pratat om operator än.

Jodå, det har ni eftersom lösningen använder Laplacetransform som är ett exempel på operator.

Micimacko skrev:

Jag har verkligen ingen aning. Vet inte om vi har pratat om operator än.

Frågan jag ställde var precis det som uppgiften handlar om. Självklart kan du inte leverara ett svar direkt från huvudet, utan det kräver en del beräkningar, vilket utgör innehållet av denna tråd.

Jag har inga problem att räkna ut svaret med samma metod de använder i facit, när man vet vad f är. Hur man nu räknar ut det. Du verkar se det direkt på något sätt?

Micimacko skrev:

Jag har inga problem att räkna ut svaret med samma metod de använder i facit, när man vet vad f är. Hur man nu räknar ut det. Du verkar se det direkt på något sätt?

Är det omskrivningen av integralen $\int_{t}^{\infty}$ till en integral $\int_{-\infty}^{\infty}$ som du undrar över?

Tror det. I facit får de X(-t). Men det är väl r som ändras i integralen?

Micimacko skrev:

Tror det. I facit får de X(-t). Men det är väl r som ändras i integralen?

Det är precis detta som karakteristiska funktionen används till. Om man integrerar över en mängd $A\subseteq \mathbb{R}$ så kan integralen uttryckas som en integral över hela $\mathbb{R}$:

    $\displaystyle\int_{A} 1\, dx = \int_{\mathbb{R}}\chi_{A}(x)\, dx.$

Funktionen $\chi_{A}(x) = 1$ om $x\in A$ och $\chi_{A}(x) = 0$ om $x\notin A.$

I ditt problem är $A = [t,\infty)$.

Men i f verkar det istället vara - oo till 0

Micimacko skrev:

Men i f verkar det istället vara - oo till 0

Jag tror jag förstår hur du tänker, men om det hade varit $\Chi(t)$, hade gränserna inte då blivit negativ oändligheten -> t eftersom $t-r\geq 0 \iff t \geq r$? Alltså integralen är noll-skild bara när r är mindre än t så gränserna blir negativa oändligheten till t?

Jo, det blir något sånt. Men att kolla facit och stoppa in olika förslag är väl inte bästa sättet att komma fram till det hoppas jag. Men att flytta runt på olikheten sådär hade jag faktiskt inte tänkt på 🙈