falsk rötter o motsägelse

En falsk rot är en felaktig lösning som uppstår eftersom $\displaystyle a^2=b^2$ inte medför $a=b$.

naytte skrev:

En falsk rot är en felaktig lösning som uppstår eftersom $\displaystyle a^2=b^2$ inte medför $a=b$.

va jag hänger inte med o vrf när jag köpr pq formlen så ska jag göra kontroll för att den ena ksk inte funkar, vad beror det på 

Du får precisera vad du menar. Det finns ingen risk för "falska rötter" om du använder pq-formeln för att lösa en andragradsekvation. Däremot finns det risk för falska rötter om du löser en ekvation genom att kvadrera någonstans under ekvationslösningen.

Katnisshope skrev:

naytte skrev:

En falsk rot är en felaktig lösning som uppstår eftersom $\displaystyle a^2=b^2$ inte medför $a=b$.

va jag hänger inte med o vrf när jag köpr pq formlen så ska jag göra kontroll för att den ena ksk inte funkar, vad beror det på 

En falsk rot är som naytte skriver något som kan introduceras när man kvadrerar båda sidor i en ekvation. 

Tag till exempel ekvationen $x=2$. Om vi kvadrerar båda sidor får vi ekvationen $x^2=4$. Det är sant att om $x=2$ så är så klart även $x^2=4$, men notera att det finns en annan lösning till $x^2=4$, nämligen $x=-2$. Detta är en falsk rot. Eftersom vi började med ekvationen $x=2$, så vi vet att $x$ inte är något annat. Vi har introducerat en ny "lösning" till ekvationen när vi kvadrerade båda led. Detta är inte i sig ett problem, men det blir farligt om vi inte är varsamma på att $x$ inte kan vara $-2$ i våra beräkningar.

När man kvadrerar båda sidor i en ekvation behöver man alltså vara varsam på att man inte råkar ta med några falska rötter i sitt resonemang.

Om vi istället började från andra hållet med ekvationen $x^2=4$, ja då vet vi att antingen är $x=2$ eller så är $x=-2$. Inga av dessa rötter är falska, för båda löser den ekvation vi började med, alltså $x^2=4$.

En falsk rot är inte samma sak som att andragradsekvationer ibland kan ha endast en, eller inga, reella rötter. Till exempel saknar ekvationen $x^2=-1$ reella rötter eftersom inget reellt tal i kvadrat kan bli negativt.

Ekvationen $x^2+4x+4=0$ har bara en rot $x=-2$ som vi kan se genom att skriva om ekvationen som $(x+2)^2=0$. Om ett tal gånger sig självt blir noll, ja då måste talet självt vara noll, alltså är $x+2=0$.

Ekvationen har endast en reell rot (kallas ibland för dubbelrot).

Ibland kan det vara så att bara en av lösningarna till en andragradsekvation är aktuella i en viss uppgift. Säg t.ex. att du vill bestämma en okänd sidlängd hos en geometrisk figur genom att lösa en andragradsekvation. Eventuella negativa lösningar är då inte relevanta då längder aldrig är negativa. Detta är inte samma sak som falska rötter. Det som händer här är att vi bara är intresserade av en del av en andragradsfunktion, även om vi tar reda på nollställen till hela funktionen. 

Ett annat exempel är om ett föremål kastas och du vill bestämma var det landar, och föremålet höjd över marken kan beskrivas som en andragradsfunktion $h(t)$ beroende av tiden $t$. Då brukar man utgå från att tiden $t$ börjar på 0, så eventuella nollställen där $t$ är negativt är inte aktuella. Här är det kanske tydligare vad jag menar med att vi bara är intresserade av en del av andragradsfunktionen.