Faktorsatsen

hej, om du utför poldiv med en faktor så får du inte en rest.

Man kan börja med att jämföra med vanlig division. T.ex, 14/3. 3 får plats 4 hela gånger i 14, och så blir det 2 över. Dvs:

$\dfrac{14}{3} = \dfrac{12}{3} + \dfrac{2}{3} = 4 + \frac{2}{3}$

Så i det här fallet blev kvoten 4 och resten 2. Notera att likheten $\frac{14}{3} = 4+ \frac{2}{3}$ kan skrivas om, genom att multiplicera båda led med 3:

$14 = 4\cdot 3 + 2$

Förhoppningsvis inget nytt där. Kom sedan ihåg att polynom, som $x^3 + 4x - 2$, beskriver också bara "vanliga tal" även om vi inte vet just vilket. Men vi kan tänka på det här polynomet som ett tal som 14. Därför kan vi precis som tidigare dividera detta med ett annat tal, som t.ex. $x+1$. Precis som tidigare, kommer detta ge en kvot, och en rest. Eftersom x är obestämt, kan vi inte längre ge raka tal som "4" och "2" för att beskriva kvoten och resten. Men vi kan säga att dessa är tal som på något sätt beror av vad x är. Så vi kan kalla kvoten för q(x), och resten för r(x). Precis i enlighet med hur vi gjorde med heltalen, kan vi då ställa upp

$\dfrac{x^3+4x-2}{x+1} = q(x) + \dfrac{r(x)}{x+1}$

Sen kommer ett knep: I fallet med heltal, så måste resten alltid vara mindre än det man delar med. I exemplet så var resten 2, och det vi delade med var 3, så det stämmer. Hade resten varit större, t.ex. 4, så hade vi kunnat plocka ut en hel till, och utöka kvoten, och istället få resten 1. Motsvarigheten när vi räknar med polynom är att gradtalet på resten måste vara mindre än gradtalet på det vi delar med. Gradtalet av x+1 är 1, så gradtalet på r(x) måste vara 0. Därför är det bara en konstant, som vi kan kalla $r$:

$\dfrac{x^3+4x-2}{x+1} = q(x) + \dfrac{r}{x+1}$

Som i fallet med heltal kan vi multiplicera med nämnaren för att skriva om likheten:

$x^3+4x-2 = q(x)(x+1) + r$

Anta nu att vi vill veta vad $r$ är för ett tal. Vilket x-värde kan vi sätta in i den här likheten som ger oss ett rakt svar på vad $r$ är, utan att vi behöver räkna ut kvoten q(x)?