Faktorsatsen

a) Låt p(x)=3x^3-13x^2+10x-2. Visa att ekvationen p(x) = 0 har en rationell rot

Möjliga värden på q är därför ±1, ±3 och möjliga värden på p är ±1, ±2. Detta ger ±1, ±2, ±1/3, ±2/3 som möjliga lösningar. Nu kan jag verifiera om p(x) = 0 har en rationell rot genom insättning.

Insättning ger:

p (1) =3*1^3–13*1^2+10*1–2=-2

p (-1) =3*(-1) ^3–13*(-1) ^2+10*(-1) –2=-28

p (2) =3*2^3–13*2^2+10*2–2=-10

p (-2) =3*(-2) ^3–13*(-2) ^2+10*(-2) –2=-98

p (1/3) =3*(1/3) ^3–13*(1/3) ^2+10*(1/3) –2=0

p (-1/3) =3*(-1/3) ^3–13*(-1/3) ^2+10*(-1/3) –2=-62/9

p (2/3) =3*(2/3) ^3–13*(2/3) ^2+10*(2/3) –2=-2/9

p (-2/3) =3*(-2/3) ^3–13*(-2/3) ^2+10*(-2/3) –2=-46/3

Alltså är 1/3 den enda rationella roten till polynomet p(x).

b) Använd polynomdivision och kvadratkomplettering för att hitta övriga rötter till p(x). Vid polynomdivisionen behöver du inte visa alla steg, det räcker att du anger kvot och rest.

På uppgift a så fick jag fram att x=1/3 är en rot till p(x) och nu kan jag dividera med (x−1/3) med p(x) för att utföra polynomdivision. Enligt faktorsatsen att (x – 1/3) är en faktor i polynomet, vilket innebär att polynomet är delbart med (x−1/3). Efter att jag har tillämpad polynomdivision så fick jag kvoten 3x^2-12x+6 och ingen rest.

Nu kan jag använda andragradsekvation som jag fick från polynomdivisionen för att tillämpa kvadratkomplettering.

3x^2-12x+6=0

För att kunna lösa den här andragradsekvationen med hjälp av kvadratkomplettering börjar jag med att se till att koefficienten framför x^2-termen blir lika med 1. Detta gör jag genom att dividera hela ekvationen med 3 och får:

3x^2/3-12x/3+6/3=0

x^2-4x+2=0

Nu har jag andragradsekvationen skriven på en form som man allmänt kan uttrycka så här:

X^2+px+q=0, där q och p är reella tal.

Nu kan man skriva om ekvationen så att det vänstra ledet bildar ett kvadrerat uttryck där variabeln ingår. Jag börjar med att flytta över konstanttermen till ekvationens högra sida och får:

x^2-4x=-2

Kommer använda andra kvadreringsregeln: a^2-2ab+b^2=(a-b) ^2

Om man jämför a^2-2ab+b^2=(a-b) ^2 och x^2-4x=-2, ser man att det saknas ett tal alltså b^2 i min ekvation. Så vi måste lägga till ett tal i den vänstra delen för att kunna använda kvadreringsregeln:

Och vi vet att 4x=2*x*2, så nu kan vi lägga till 2^2 och får:

x^2-4x+2^2=-2+2^2

x^2-4x+2^2=2

Nu kan vi faktorisera väster med hjälp av kvadreringsregeln och får:

(x-2) ^2=2

Nu kan man lösa ekvationen genom att dra roten ur båda leden och sedan lösa ut x och får följande lösningar:

x-2= ± roten ur (2)

Löser ut x och får:

Fall 1:

x-2= roten ur (2)

x= roten ur (2) +2

Fall 2:

x-2= - roten ur (2)

x=- roten ur (2) +2

Svar: Övriga rötter till p(x) är: x=2+ roten ur (2) och x=2-roten ur (2)

c) Faktorisera p(x), det vill säga skriv p(x) som en produkt av polynom av grad 1.

På uppgift a så fick vi fram att x=1/3 är en rot till p(x) och betyder enligt faktorsatsen att (x – 1/3) är en faktor i polynomet och bryta ut (x−1/3) och får att:

p(x)= (x−1/3) q(x)

där q(x) är ett polynom av 1 grad lägre än p(x), alltså är q(x) är ett polynom av grad 2. Från polynomdivision på uppgift b fick jag fram att (3x^2-12x+6), viket innebär att detta uttryck blir min q(x) och nu kan jag ställa upp ekvation som jag kan faktorisera.

p(x)= (x−1/3) (3x^2-12x+6)

Hur kan jag använda rötterna från del b) och faktorsatsen för att faktorisera andragradsekvationen, fastän rötterna är irrationella?