Faktorsatsen

När du delat upp i faktorer baserat på nollställena så vet du fortfarande ingenting om hur polynomet är skalat i y-led. Därför behöver man alltid multiplicera med en konstant också. Den kan du bestämma genom att stoppa in en annan koordinat på grafen. I 4170 var konstanten 1, så därför blev det rätt ändå.

$(x - x_0)$-faktorerna bestämmer var kurvan skär y-axeln men det bestämmer inte hur brant kurvan är.

Ta $(x - 1)(x + 1)$ och $3(x - 1)(x + 1)$. De har samma nollställen men den senare är betydligt brantare än den andra.

http://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+(x+-+1)(x+%2B+1)+and+3(x+-+1)(x+%2B+1)

För att från en graf extrahera polynomets form så behövs alltså en extra konstant som brukar betecknas A och som alltså konceptuellt är ett mått på hur snabbt funktionen växer och ett allmännt tredjegradspolynom i faktorform blir alltså

$A(x - x_1)(x - x_2)(x - x_3)$

I det första fallet så råkade fakton A vara 1 men detta är ett undantag. Denna faktor A kan bestämmas genom att välja någon punkt på grafen $(a,b)$ och stoppa in de uttrycket och lösa för A enligt

$b = A(a - x_1)(a - x_2)(a - x_3)$

$A = \frac{b}{(a - x_1)(a - x_2)(a - x_3)}$

Linnimaus skrev :

jag har en fråga angående uppgift 4170 och 4173. På uppgift 4170 ser jag att grafen skär x-axeln i origo, -2 och 2. Så jag räknade ut p(x)=x(x+2)(x-2)=x³-4x

På uppgift 4173 gjorde jag samma sak och får p(x)=(x+5)²(x-1) men i facit står p(x)=3(x+5)²(x-1) 

Varför det? 

Allmänt: Ett tredjegradspolynom $P\left(x\right)$ med nollställen $x_1, x_2, x_3$ kan skrivas som $P\left(x\right)=k·(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)$, där $k$ är en konstant som dels bestämmer om $P\left(x\right)$ är "positiv" eller "negativ" (dvs om grafen är en uppförsbacke med gupp eller en nedförsbacke med gupp), dels bestämmer hur brant grafen lutar. 

Ang 4170 och 4173 så tänker du rätt, men du måste anpassa konstanterna k så att de stämmer med graferna.

 Tack :)