Faktorisering och nollpunkt

$$\begin{gathered} a^2-b^2=(a+b)(a-b) \\ a=2x+1, b=x+4 \end{gathered}$$

Haas skrev:

($x^2$-1)(x+3${)}^2$=0

(2x+1${)}^2$−(x+4${)}^2$=0

Vi begränsar oss till en fråga per tråd.

Vilken av ekvationerna behöver du hjälp med här?

Gör en ny tråd för den andra ekvationen. 

På den första uppgiften kan du använda nollproduktmetoden direkt. På den andra uppgiften kan du använda konjugatregeln först, och sedan nollproduktmetoden. Kommer du vidare?

Yngve skrev:

Haas skrev:

($x^2$-1)(x+3${)}^2$=0

(2x+1${)}^2$−(x+4${)}^2$=0

Vi begränsar oss till en fråga per tråd.

Vilken av ekvationerna behöver du hjälp med här?

Gör en ny tråd för den andra ekvationen. 

Det blir väl egentligen den andra ekvationen först och främst.

OK, använd då först konjugatregeln för att skriva om vänsterledet.

Fråga gärna om du kör fast.

Yngve skrev:

OK, använd då först konjugatregeln för att skriva om vänsterledet.

Fråga gärna om du kör fast.

Kör väl fast lite eftersom jag känner mig osäker på hur jag använder upphöjt till 2.

Tänker jag rätt rätt om det ska räknas som (4x+2) (2x+8)?

Nej det är inte rätt. Gör istället så här:

Sätt tillfälligt a = 2x+1 och b = x+4.

Då blir ekvationen a² - b² = 0 och då blir det kanske tydligare hur du kan använda konjugatregeln i vänsterledet?

Du har fått det rätta sättet men bör också titta på vad du skrev först.

Kör väl fast lite eftersom jag känner mig osäker på hur jag använder upphöjt till 2.

Tänker jag rätt rätt om det ska räknas som (4x+2) (2x+8)?

Då tolkar du (2x+1)² = (2x+1)(2x+1) som (2x+1) + (2x+1) = 4x+2.

Medan ursprungliga minus blev till gånger.

För att svara på båda senaste svaren.

Kommer nog snart att förstå att jag trasslat till det här onödigt mycket :-)

Men om jag ska använda konjugatregeln måste jag väl först faktorisera så att ända skillnaden blir tecknen inuti parenteserna? eller övertolkar jag regeln nu?

Du använder konjugatregeln för att faktorisera.

Ditt uttryck består av en kvadrat minus en annan kvadrat.
Då kan konjugatregeln användas för att skriva om uttrycket som en produkt av två faktorer.
Vi gör det för att sedan kunna lösa ekvationen med nollproduktmetoden.

a² - b² = (a+b)(a-b)

Och som Yngve skrev:  a i regeln motsvaras här av 2x+1 och b motsvaras av x+4.
Sätt in de uttrycken i regelns högra led. Förenkla. Sedan kan du använda nollproduktmetoden.

Louis skrev:

Du använder konjugatregeln för att faktorisera.

Ditt uttryck består av en kvadrat minus en annan kvadrat.
Då kan konjugatregeln användas för att skriva om uttrycket som en produkt av två faktorer.
Vi gör det för att sedan kunna lösa ekvationen med nollproduktmetoden.

a² - b² = (a+b)(a-b)

Och som Yngve skrev:  a i regeln motsvaras här av 2x+1 och b motsvaras av x+4.
Sätt in de uttrycken i regelns högra led. Förenkla. Sedan kan du använda nollproduktmetoden.

Jag förstår vad ni säger. Men det som gör att jag kör fast i denna uträkning är ju att det är plustecken i båda parenteserna. Alltså +1 i den första och +4 i den andra.

-ab +ab ska ju ta ut varandra i denna regel. För hade det stått (2x+1) och (x-4) så hade det för min del varit en helt annan sak.

Eller handlar det om att jag ser för enkelt på regeln nu att det inte spelar någon roll från ursprunget om det står + eller -?

Det spelar ingen roll alls vad det står i parenteserna eftersom du ska betrakta hela den första parentesen som a i konjugatregeln och hela den andra parentesen som b.

-ab +ab ska ju ta ut varandra i denna regel.

Det gör de när du multiplicerar ihop (a+b)(a-b) för att få regelns a² - b². Men nu går du åt andra hållet och behöver inte tänka på sådant.

Jag vet inte om du blandar ihop t ex 2x+1 med a+b. Men som sagt, 2x+1 är här a, varken mer eller mindre.

Haas skrev:

Eller handlar det om att jag ser för enkelt på regeln nu att det inte spelar någon roll från ursprunget om det står + eller -?

Vanligtvis brukar jag uppmana att tänka mer och räkna mindre, men i det här fallet är det tvärtom.

Gör så här:

1. Ersätt 2x+1 med a och x+4 med b. Visa oss hur din ekvation då ser ut.
2. Använd konjugatregeln för att skriva om ekvationens vänsterled till en produkt av två faktorer. Visa oss hur din ekvation då ser ut.
3. Byt tillbaka från a till 2x+1 och ftån b till x+4. Visa oss hur din ekvation då ser ut.
4. Förenkla uttrycken innanför parenteserna. Visa oss hur din ekvation då ser ut.
5. Använd nollproduktmetoden för att lösa ekvationen. Visa oss hur dina uträkningar då ser ut.

Yngve skrev:

Haas skrev:

Eller handlar det om att jag ser för enkelt på regeln nu att det inte spelar någon roll från ursprunget om det står + eller -?

Vanligtvis brukar jag uppmana att tänka mer och räkna mindre, men i det här fallet är det tvärtom.

Gör så här:

1. Ersätt 2x+1 med a och x+4 med b. Visa oss hur din ekvation då ser ut.
2. Använd konjugatregeln för att skriva om ekvationens vänsterled till en produkt av två faktorer. Visa oss hur din ekvation då ser ut.
3. Byt tillbaka från a till 2x+1 och ftån b till x+4. Visa oss hur din ekvation då ser ut.
4. Förenkla uttrycken innanför parenteserna. Visa oss hur din ekvation då ser ut.
5. Använd nollproduktmetoden för att lösa ekvationen. Visa oss hur dina uträkningar då ser ut.

Nu ska vi se om jag kommit in på rätt spår eller inte.

Om jag nu tar 2x+1 samt x+4 så blir det alltså (3x-5)(3x+5) vilket då blir förenklat $3x^2$-25?

Efter det så blir det att gå över till nollproduktsmetoden?

Nej det stämmer intr.

Följ mina steg 1-5 precis som jag skriver dem.

Skriv ner varje steg 1-5 och visa alla dessa steg för oss.

Jag förstår vad ni säger.

Är inte säker på det ;)

3x+5 är parenteserna adderade. Men hur fick du 3x-5?
Och sedan går du från en felaktig faktorisering tillbaka till två termer (med ett nytt fel i den första).
Nollproduktmetoden kan du bara använda när du har faktoriserat.

Följ Yngves anvisningar steg för steg, men fundera också på felen du gjort så här långt.

Jag behöver nog sitta och räkna och vrida och vända lite så att jag förstår hur stegen ser ut.

Jag har bara använt mig av regeln åt andra hållet. Alltså när du ska få $a^2$-${b^2}^{}$

Om (a-b)(a+b) = a²-b² så gäller det att a²-b² = (a-b)(a+b). Är du med på det?

========

Ekvationen är (2x+1)² - (x+4)² = 0

Jag kan hjälpa dig med de första två stegen.

1. Jag ersätter 2x+1 med a och x+4 med b. Det betyder att (2x+1)² är lika med a² och att (z+4)² är lika med b². Då kan ekvationen skrivas a² - b² = 0.
2. Jag använder konjugatregeln a² - b² = (a-b)(a+b) för att skriva om vänsterledet. Då kan ekvationen skrivas (a-b)(a+b) = 0.

Försök nu att fortsätta själv med steg 3-5 och visa oss alla dina räknesteg.

Yngve skrev:

Om (a-b)(a+b) = a²-b² så gäller det att a²-b² = (a-b)(a+b). Är du med på det?

 

Kanske. Kan testa med ett enklare exempel för att se om jag tänker rätt.

Ex: $X^2$-4 = $X^2$-$2^2$ = (X-2)(X+2)

Är det åt rätt håll? För mig är detta ett tydligare exempel.

Ja det stämmer.

Yngve skrev:

Ja det stämmer.

Bra. Då behöver jag bara en knuff för att inse hur man tänker när man redan har ett +1 och +4 innanför parenteserna. Är dom som ställer till de för mig när jag ska räkna.

Du krånglar till det i onödan. Och jag förstår inte varför du, trots upprepade uppmaningar, fortfarande inte följer de instruktioner du får.

Jag har givit dig en knuff framåt på en betydligt enklare väg i och med steg 1-5 i svar #14.

Gör inga egna resonemang just nu utan följ de stegen ord för ord.

jag har redan hjälpt dig med exakt hur du ska skriva på steg 1 och 2 i svar #19.

Gå nu vidare och utför steg 3-5. Visa oss i detalj hur du gör det.

Efter det kan vi, vid behov, gå in i detalj på de olika stegen.

Yngve skrev:

Du krånglar till det i onödan. Och jag förstår inte varför du, trots upprepade uppmaningar, fortfarande inte följer de instruktioner du får.

Jag har givit dig en knuff framåt på en betydligt enklare väg i och med steg 1-5 i svar #14.

Gör inga egna resonemang just nu utan följ de stegen ord för ord.

jag har redan hjälpt dig med exakt hur du ska skriva på steg 1 och 2 i svar #19.

Gå nu vidare och utför steg 3-5. Visa oss i detalj hur du gör det.

Efter det kan vi, vid behov, gå in i detalj på de olika stegen.

Steg 3

(2x+1-x+4)(2x+1+x+4)?

Nu är du på gång.
Fast det blir -4 i första parentesen. (2x+1-(x+4)).
Och allt = 0.
Fortsätt till steg 4.

Louis skrev:

Nu är du på gång.
Fast det blir -4 i första parentesen. (2x+1-(x+4)).
Och allt = 0.
Fortsätt till steg 4.

Steg 4

(X-3)(3X+5)

Steg 5

(X-3) x=3

(3x+5) 》X(2X+5) X= -2,5

Steg 4 är rätt, men du glömde att skriva ut högerledet. 

Det ska alltså vara (x-3)(3x+5) = 0

Steg 5 är delvis rätt, dvs att x-3 = 0, dvs att x = 3 är en lösning.

Men den andra lösningen blev inte rätt. Lös ekvationen 3x+5 = 0.

Yngve skrev:

Steg 4 är rätt, men du glömde att skriva ut högerledet. 

Det ska alltså vara (x-3)(3x+5) = 0

Steg 5 är delvis rätt, dvs att x-3 = 0, dvs att x = 3 är en lösning.

Men den andra lösningen blev inte rätt. Lös ekvationen 3x+5 = 0.

Högerledet också ja :-)

3x+5=0 

-5 båda sidor vilket ger 3x=-5

Dela båda sidor med 3

X= - $\frac{5}{3}$

https://www.desmos.com/calculator/bpnwlivdpu

Ekvationen har sin lösning om något av polynomen i VL är lika med noll.

$$\begin{gathered} (x^2-1)(x+3{)}^2=0 \\ {x}^2-1=0 \\ {x}^2=1 \\ x=\pm \sqrt{1} \\ \overline{)x_1=1} \\ \overline{)x_2=-1} \\ (x+3{)}^2=0 \\ x+3=0 \\ \overline{)x_3=-3} \end{gathered}$$

Tack för hjälpen(och tålamodet) :-)