Faktorisering i Matematik 5000 3bc uppgift 1138:a

Här ska man faktorisera $\frac{x^{2}}{4} - \frac{1}{9}$ och svaret i facit är $(\frac{x}{2} + \frac{1}{3}) (\frac{x}{2} - \frac{1}{3})$ . Jag har kollat hur man kommer fram till det svaret men mitt svar var blev annorlunda då jag förlängde till gemensam nämnare och bröt ut ett bråktal:
$\frac{x^{2}}{4} - \frac{1}{9} = \frac{9 x^{2}}{36} - \frac{4}{36} = \frac{1}{36} (9 x^{2} - 4)$ . Boken verkar alltid ge ett enda svar som lösning till faktoriseringar. Är min lösning fel?

Faktorisera uttrycket är vanligtvis en förkortning av den mer explicita instruktionen skriv uttrycket som en produkt av så många faktorer som möjligt där faktorerna är polynom med grad större än 0. (med viss variation)

Mer utvecklat:

Att faktorisera betyder i sig bara att skriva något som en produkt av en eller flera faktorer. Ett heltal såsom 24 kan faktoriseras på många olika sätt

2*12 eller 4*6 eller 2*2*3*3 osv. Det finns inte en faktorisering utan flera.

När det kommer till faktorisering av polynom så gäller samma sak. Att det tekniskt sett finns flera olika möjliga faktorisering och därmed flera möjliga svar såsom du anmärker.

Det sådana här uppgifter dock vill att man gör är att man faktoriserar polynomet/uttrycket "fullständigt" vilket betyder att man försöker bryta ner utttrycket i så många (polynom)faktorer som möjligt. Jämför med primtalsfaktorisering där du ju vill skriva ett tal som 24 med så många faktorer som möjligt dvs 2*2*3*3.

I både ditt fall och facit har ni båda visserligen fått två faktorer men en av dina faktorer $9x^2 - 4$ kan brytas ned i två ytterligare faktorer $9x^2 - 4 = (3x)^2 - 2^2 = (3x + 2)(3x - 2)$ så du är inte "klar".

Däremot hade

$\frac {1}{36}(3x + 2)(3x - 2)$

varit ett svar jämbördigt med facits eftersom antalet polynomfaktorer med grad större än 0 är två stycken i båda fallen.

Tack för ett jättebra svar!! Nu förstår jag. :)

Svara