Faktorisering av roten ur

Jag skulle säga att man inte kan förenkla $8^5$.

Man ska förstå begreppet förenkla som 'att skriva om uttrycket så att det blir enklare' men vad detta i praktiken betyder är att man efter förenklingen ska få något med färre symboler. Uttrycket $2 x^2 + 3 x^2$ kan förenklas till $5 x^2$. Innan förenklingen hade vi ett uttryck med 7 symboler (2, x, 2 i exponent, +-tecken, 3:a, x igen, och 2 i exponent) medan vi efter förenklingen har ett uttryck 3 symboler (5, x, och 2 i exponenten). Det andra uttrycket är enklare än det första. 

Men $8^5$ kan inte skrivas om så att det får färre symboler eller blir mindre komplicerat.

Vad man kan göra är att skriva om potensen med en annan bas eller beräkna det.

Vill man skriva om potensen till en potens med bas 2 kan man använda faktorisering av basen följt av potenslagen för upprepade exponenter

$8 = 2^3$ (bör man se/veta) och vi har en potenslag $(a^n)^m = a^{n \cdot m}$.

Kombinerar vi dessa kan vi skriva

$8^5 = (2^3)^5 = 2^{3 \cdot 5} = 2^{15}$

Detta är en omskrivning, men kan inte ses som en förenkling då uttrycket inte blivit enklare eller mindre.

edit:

I ditt problem hade vi $\sqrt{8^5}$ och det går att skriva på fler sätt men finns ingen som är objektivt enklare än en annan

Man kan skriva detta som

$\sqrt{2^{15}}$

eller

$\sqrt{2^{15}} = 2^{15/2}$

men de är inte enklare någon mening jag skulle mena.

Fortsättning. Hade det varit så att basen hade varit en kvadrat eller exponenten hade varit ett jämt tal då hade det funnits riktiga förenklingar att göra då man hade kunnat göra basen enklare utan att förändra exponenten

Ta $\sqrt{9^5} = (9^5)^{1/2} = 9^{5 \cdot \frac{1}{2}} = (9^{1/2}^{5} = (\sqrt{9})^5 = 3^5$

$3^5$ är då enklare att förstå och beräkna än $\sqrt{9^5}$

Själva beräkningen kan man även korta ner med regeln

$\sqrt{a^n} = (\sqrt{a})^n$

Men man kan inte ta roten ur 8 och få ett heltal så det går inte att göra detta med $\sqrt{8^5}$ 

På ett sätt kan vi anse att omskrivningen till 2¹⁵ en förenkling eftersom det är enklare att beräkna värdet av 2¹⁵ än 8^5,, åtminstone utan digitala hjälpmedel.

Ber om ursäkt. Missade att det skulle vara roten ur också. Jag redigerar mitt ursprungliga inlägg så att det kommer med.

Ylva H kan strunta det jag kommer skriva härnäst för det är bara en kommentar för kul skull

Yngve skrev:

På ett sätt kan vi anse att omskrivningen till 2¹⁵ en förenkling eftersom det är enklare att beräkna värdet av 2¹⁵ än 8^5,, åtminstone utan digitala hjälpmedel.

Jovisst, illustrerar ju att 'vad som är enkelt' beror både av vad man har tillgång till för teknologi och vilken algoritm man använder, och att olika algoritmer är olika snabb beroende på teknologi (där teknologin bara kan vara papper och penna). Sedan kan det som är enkelt att förstå vara svårare att beräkna än något man inte förstår, vice versa, osv. 

Tror mycket väl att om man använder upprepat multiplikation mha skol-multiplikations-algoritmen och bara gör en lista så kommer det att gå (marginellt) snabbare och i alla fall vara mindre frustrerande att göra listan 2,4,8,16,..., 32768 än att göra listan 0, 64, 512, 4096, 32768

Har man lärt sig snabbare multiplikationsalgoritmer som Trachtenbergsystemet så går det nog snabbare att göra 8-listan än att göra 2-listan. (vilket jag såklart inte gjort för jag är inte galen).

Skulle vi tävla i att beräkna värdet för hand så skulle jag dock nog försöka implementera exponentiation by squaring och göra 3 multiplikationer istället för 5 och även om multiplikationslagoritm-uttrycken blir rätt så stora så kanske det går snabbare?

8^2 = (minne) = 64

8^4 = 8^2 * 8^2 = 64^2 = (algoritm) = 4096

8^5 = 8*8^4 = 8 * 4096 = (algoritm) = 32768 

Om det gäller roten ur 8 upphöjt till 5 så kan man skriva 8 upphöjt till 1/2. Sätta parentes runt och upphöja till 5. Då kan du separera de två till 8^2 * 8^1/2 och du har 64 * rot 8. Om det är en förenkling vet jag inte men lite tydligare i alla fall. 

Jag tycker $128\sqrt{2}$ är bäst.