Faktorisering av reella polynom
Hej, Jag sitter här och pluggar inför min omtenta med hjälp av gamla tentor. Har stött på denna tenta fråga... Polynomet f(x) = x^5 + 12x^2 − 5x uppfyller f(1 + 2i) = 0.
(a) Hitta alla nollställen till f(x).
(b) Skriv f(x) som en produkt av irreducibla reella polynom.
Jag håller på med a) och har kommit fram till (x-(1+2i))(x-(1-2i))= x^2-2x+5 (i facit står det x^3-2x^2+5x). Därefter gör man en polynom division. Dock får jag resten -18x+50, Vilket inte ska stämma. Resten ska vara 0. Därför kan jag inte gå vidare med att lösa uppgiften.
Tack i förhand!
Även x=0 är en rot till polynomet så i facit har de även tagit med det som en faktor i divisorpolynomet.
Om du får en rest som är fel så är det väl bara att du gjort fel i polynomdivisionen och får göra om den. Är det fortfarande fel på andra försöker så kan du lägga upp en bild för felsökning men du kan ju börja med att göra om med en divisor som har med x
Exakt, x=0 är också en rot. Jag kan se det framför mig men hur ska man tänka i framtiden? Kan det vara bra att checka ifall x=0 är en rot när jag får en liknande fråga innan jag sätter igång med att lösa?
Jag ska göra om polynomdivisionen och då jag måste ta med x=0 som en faktor.
Återkommer snart...
Tack :)
itsanii4 skrev:Exakt, x=0 är också en rot. Jag kan se det framför mig men hur ska man tänka i framtiden? Kan det vara bra att checka ifall x=0 är en rot när jag får en liknande fråga innan jag sätter igång med att lösa?
Ja, det är alltid bra att kolla de enkla möjligheterna som t.ex. x = 0, x = 1 och kanske x = 2 innan man sätter igång.
Om du hittar en eller flera enkla rötter så går det mycket enklare och snabbare att hitta de övriga.
====== Exempel =======
Om x = 0, x = 1 och x = -2 är rötter till polynomet P(x) så vet du att både x, (x-1) och (x+2) är faktorer i polynomet.
Det innebär att x(x-1)(x+2) = x3+x2-2x är en faktor i polynomet, vilket i sin tur innebär att du kan utföra polynomdivisionen P(x)/(x3+x2-2x) på en gång och få ut en kvot utan rest.
Denna kvot kommer ju att ha en grad som är 3 lägre än P(x) och därmed går det mycket enklare att hitta resterande rötter.
Bra exempel, Har förstått till 100%. Jag lyckades med polynomdivisionen och delfråga b).
Tack så mycket för hjälpen.
