Faktorisering av hög exponent

Nej det går inte ( i alla fall inte om vi håller oss till reella tal). Lösningen bygger på att $\left(y^2-1\right) = (y+1)(y-1)$

och något liknande finns inte för $y^2+1$

Svaret är fel:  Det ska vara olika tecken i $x^5$ parenteserna.

farfarMats skrev:

Nej det går inte ( i alla fall inte om vi håller oss till reella tal). Lösningen bygger på att $\left(y^2-1\right) = (y+1)(y-1)$

och något liknande finns inte för $y^2+1$

Svaret är fel:  Det ska vara olika tecken i $x^5$ parenteserna.

Varför kan inte 20 och 10 exponenterna delas upp i ytterligare faktorer? Är det omöjligt eller möjligt men bryter mot någon princip?

De använder konjugatregeln baklänges, dvs. (a+b)*(a-b)= a²-b².

Applicerbart då vi har x^{ett jämnt tal}, som då kan motsvara a², och 1 eftersom att 1=1² så 1 kan motsvara b².

Inte applicerbart då vi har x^{ett udda tal} eller ett plustecken mellan termerna.

Om du delar upp t.ex. (x²⁰+1) som (x¹⁰*x¹⁰+1) har du inte fått fram någon ny faktor, du har bara faktoriserat en faktors beståndsdelar.

jofig122 skrev:

farfarMats skrev:

Nej det går inte ( i alla fall inte om vi håller oss till reella tal). Lösningen bygger på att $\left(y^2-1\right) = (y+1)(y-1)$

och något liknande finns inte för $y^2+1$

Svaret är fel:  Det ska vara olika tecken i $x^5$ parenteserna.

Varför kan inte 20 och 10 exponenterna delas upp i ytterligare faktorer? Är det omöjligt eller möjligt men bryter mot någon princip?

Ja, alltså, det går ju ... men inte med konjugatregeln som jag tror det här handlar om.

Man kan faktorisera $(x^{20}+1)$ och bryta ut $\left(x^4+1\right)$. Problemet är då att man får detta:

$(x^{20}+1)=(x^4+1)(1-x^4+x^8-x^{12}+x^{16})$

Jag vet inte om det är någon höjdare och vi har definitivt lämnat konjugatregeln långt bakom oss. 

Alla reella polynom av grad 3 eller högre kan faktoriseras till polynom med reella faktorer.

För polynom av typen xⁿ+1 och xⁿ-1 (som heter cyklonånting, tror jag), kan man betrakta de n komplexa enhetsrötterna och para ihop dem på ett sådant sätt att man får ett antal andragradsfaktorer med reella koefficienter.

jag fär försvara mig med att det i uppgiften uttryckligen står att man ska använda konjugatregeln.

jofig122 skrev:

farfarMats skrev:

Nej det går inte ( i alla fall inte om vi håller oss till reella tal). Lösningen bygger på att $\left(y^2-1\right) = (y+1)(y-1)$

och något liknande finns inte för $y^2+1$

Svaret är fel:  Det ska vara olika tecken i $x^5$ parenteserna.

Varför kan inte 20 och 10 exponenterna delas upp i ytterligare faktorer? Är det omöjligt eller möjligt men bryter mot någon princip?

Det här är en intressant fråga. Det jag skriver nu är inget man behöver veta om för gymnasiematematik, utan detta brukar man lära sig om när man läser abstrakt algebra eller liknande på universitetsnivå. Så du kan strunta i det om du vill!

När och hur kan polynomet $x^n-1$ faktoriseras, för olika värden på $n$? 

Om vi begränsar oss till att vi vill ha koefficienter som är heltal eller rationella tal så kan det generella fallet kan besvaras med hjälp av en viss typ av polynom $\Phi_n(x)$ som kallas för cyklotomiska polynom. Cyklotomiska polynom är definierade som faktorer av $x^n-1$ och har egenskapen att de inte kan faktoriseras ytterligare, så länge vi kräver att koefficienterna är heltal eller rationella tal. De är med andra ord de minsta beståndsdelarna, eller byggstenarna, av $x^n-1$.

$x+1$,

$x-1$,

$x^2+x+1$, och

$x^4+1$

är exempel på cyklotomiska polynom. Polynomet $x^n-1$ kan alltså skrivas som en produkt av ett visst antal cyklotomiska polynom, och det finns effektiva metoder för att bestämma exakt vilka dessa faktorer är.

Till exempel för $n=2$ och $n=3$ är

$x^2-1=(x+1)(x-1)$ (konjugatregeln), och

$x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)$.

Om vi tillåter koefficienterna att vara reella tal så kommer fler polynom gå att faktorisera. Det gäller faktiskt att varje polynom av grad 3 eller högre kan faktoriseras som en produkt av två polynom med lägre grad, precis som Laguna skrev tidigare.

Exempelvis har vi faktoriseringen som sictransit gav i ett tidigare inlägg:

$x^{20}+1=(x^4+1)(x^{16}-x^{12}+x^8-x^4+1)$.

Polynomet $x^4+1$ är ett cyklotomiskt polynom och kan därför inte faktoriseras ytterligare utan att använda icke-rationella, alltså irrationella, koefficienter. Däremot har polynomet grad 4 så vi vet att det går att faktorisera ytterligare om vi tillåter alla reella tal som koefficienter. En sådan faktorisering är

$x^4+1=(x^2+\sqrt{2}x+1)(x^2-\sqrt{2}x+1)$.

Även den andra termen $x^{16}-x^{12}+\dots$ går att faktorisera ytterligare. (Någon som vet om detta är cyklotomiskt?)

Det är alltså riktigt att det går att faktorisera vidare, men då behöver man använda mer avancerade metoder än konjugatregeln, och det är så klart inte tänkt att man ska göra det i den här uppgiften.