Faktorisering

Egentligen är ju den största "hela" gemensamma faktorn 2^(n-1) d.v.s du har (n-1) st tvåor i den andra termen. Då är det ett lämpligt antal att bryta ut då du endast får 2^0=1 kvar i den andra termen i parantesen.

2^(n-1) ( 2^(n+1) + 1)

Ok, men varför sade min lärare att man först ska bryta ut 2^n så man får 2^n (2^n + 2^(n-1))?

Min lärare menade nämligen på att 2^n var den största faktorn.

Sedan gjorde hon något mer för att omvandla 2^n (2^n + 2^(n-1)) till 2^(n-1) (2^(n+1) + 1). 

Att bryta ut 2^(n-1) direkt var enligt henne fel eftersom 2^n var den största faktorn.

Ashur skrev:

Ok, men varför sade min lärare att man först ska bryta ut 2^n så man får 2^n (2^n + 2^(n-1))?

Min lärare menade nämligen på att 2^n var den största faktorn.

Sedan gjorde hon något mer för att omvandla 2^n (2^n + 2^(n-1)) till 2^(n-1) (2^(n+1) + 1). 

Att bryta ut 2^(n-1) direkt var enligt henne fel eftersom 2^n var den största faktorn.

Hon misstog sig. 

Jag vet inte om jag tror läraren misstog sig. Troligen bland Sveriges bästa lärare, som haft över 50 års erfarenhet i matematik. Språket kan dock ha gett (ytterst lite) upphov till missuppfattning

Men om jag fattat det rätt från er sida, är målet att i en av termerna uppnå 1. Så varför väljer man då inte att bryta ut 4^n?

Din lärare missatar sig enligt mig också.

Det går inte att bryta ut 4^n för att den är större än 2^(n-1).

För att lösa uppgiften ska du först inse att 4^n=2^(2n). Termerna har nu samma bas men olika exponent, 2n är större än n-1 så därför bruter man ut 2^(n-1)

Man kan faktorisera på t.ex. de här sätten

$2^n(2^n + \frac{1}{2})$
$2^{n-1}(2^{n+1} + 1)$
$4^n(1 + \frac{1}{2^{n+1}})$

Vet man inte vad n är eller vad man ska göra med uttrycket så är det en smaksak vilken man gillar bäst.

Det klart man kan bryta ut 4^n från 2^(n-1).

Spelar ingen roll att 2^(n-1) skulle vara mindre.

Frågan är varför 2^(n-1) föredras.

Din lärare råkade göra fel. Det kan hända alla, även om man är bra. Alla får hjärnsläpp ibland.

Laguna skrev:

Man kan faktorisera på t.ex. de här sätten

$2^n(2^n + \frac{1}{2})$
$2^{n-1}(2^{n+1} + 1)$
$4^n(1 + \frac{1}{2^{n+1}})$

Vet man inte vad n är eller vad man ska göra med uttrycket så är det en smaksak vilken man gillar bäst.

Om man antar att man inte bara vill bryta ut någon algebraisk faktor, utan vill faktorisera det heltal som är värdet av uttrycket (om n är ett positivt heltal), så är det klart att faktorn $2^n + \frac{1}{2}$ inte är så lyckad. Den enda heltalsfaktorisering man kan åstadkomma är $2^{n-1}(2^{n+1} + 1)$, men därmed inte sagt att man har faktoriserat talet fullständigt. $2^{n+1} + 1$ kan gå att faktorisera, men då måste man veta n.