11 svar
548 visningar
Matte-02 behöver inte mer hjälp
Matte-02 137 – Fd. Medlem
Postad: 9 feb 2019 21:42

Faktorisering

Finns det något värde på talet a så att uttrycket x^2 +a innehåller faktorn x+7?

Svaret är a=-49

Laguna Online 30252
Postad: 9 feb 2019 22:03

Vad är din fråga? 

Matte-02 skrev:

Finns det något värde på talet a så att uttrycket x^2 +a innehåller faktorn x+7?

Svaret är a=-49

Om uttrycket x2+ax^2+a ska innehålla faktorn x+7x+7 så måste uttrycket kunna faktoriseras, dvs kunna skrivas på formen k(x+7)(x+b)k(x+7)(x+b), där kk och bb är konstanter.

Multiplicera ihop faktorerna k(x+7)(x+b)k(x+7)(x+b) och jämför resultatet med ursprungsuttrycket x2+ax^2+a.

Antalet x2x^2-termer, xx-termer och konstanttermer ska vara lika många i de båda uttrycken.

Med hjälp av det kan du bestämma vilka värden konstanterna kk och bb måste ha.

Gör ett försök och visa hur långt du kommer.

Matte-02 137 – Fd. Medlem
Postad: 9 feb 2019 22:21

Oj jag var kanske otydlig med vad min fråga var, själva frågan är:

Finns det något värde på talet a så att uttrycket x^2 +a innehåller faktorn x+7?

Smaragdalena 80504 – Avstängd
Postad: 9 feb 2019 22:23

Använd konjugatregeln baklänges. Du vet att (a+b)(a-b)=a2-b2(a+b)(a-b)=a^2-b^2. Du behöver ha en faktor som är (x+7). Om det vore så att det var ett plus mellan termerna, och om a vore 72=497^2=49, så skulle det fungera... Hmmm...! Det står inte i uppgiften att a måste vara positivt!

Matte-02 137 – Fd. Medlem
Postad: 9 feb 2019 22:25

När jag multiplicerar  k(x+7)(x+b) får jag (kx+kxb+7kx+7kb).

Hur ska jag jämföra resultatet som jag fick med x2+a ?

Eller har jag missförstått din förklaring?

Smaragdalena 80504 – Avstängd
Postad: 9 feb 2019 22:31

Den här gången tror jag att Yngne missförstod uppgiften (det händer oss alla). Pröva den här metoden istället:

Smaragdalena skrev:

Använd konjugatregeln baklänges. Du vet att (a+b)(a-b)=a2-b2(a+b)(a-b)=a^2-b^2. Du behöver ha en faktor som är (x+7). Om det vore så att det var ett plus mellan termerna, och om a vore 72=497^2=49, så skulle det fungera... Hmmm...! Det står inte i uppgiften att a måste vara positivt!

Matte-02 137 – Fd. Medlem
Postad: 9 feb 2019 22:31

Jaa, jag förstår nu, tack så mycket till er! 

Yngve Online 40159 – Livehjälpare
Postad: 10 feb 2019 00:52

Nejdå, jag missförstod inte alls uppgiften.

Om man multiplicerar ihop faktorerna får man uttrycket kx2+k(b+7)x+7kbkx^2+k(b+7)x+7kb.

Detta ska vara lika med x2+ax^2+a.

Dessa två polynom är lika (för alla möjliga värden på x) endast om:

  • x2x^2-termerna är lika, vilket innebär att k=1k=1
  • xx-termerna är lika, vilket innebär att k(b+7)=0k(b+7)=0
  • Konstanttermerna är lika, vilket innebär att 7kb=a7kb=a

Första ekvationen ger att k=1k=1

k=1k=1 insatt i andra ekvationen ger oss då att b+7=0b+7=0, dvs b=-7b=-7

k=1k=1 och b=-7b=-7 insatt i tredje ekvationen ger oss då att 7·1·(-7)=a7\cdot 1\cdot (-7)=a, dvs a=-49a=-49

-------

Detta var en generell lösningsmetod, som man kan använda även om man inte kommer på genvägen med konjugatregeln som Smaragdalena föreslog.

En annan genväg är att redan från början inse att k=1k=1 och istället ansätta faktoriseringen x2+a=(x+7)(x+b)x^2+a=(x+7)(x+b).

Man får då x2+a=x2+(7+b)x+7bx^2+a=x^2+(7+b)x+7b, med samma lösning som ovan.

Laguna Online 30252
Postad: 10 feb 2019 09:04
Matte-02 skrev:

Oj jag var kanske otydlig med vad min fråga var, själva frågan är:

Finns det något värde på talet a så att uttrycket x^2 +a innehåller faktorn x+7?

Jag var väl också otydlig. Den frågan stod ju där, men du hade svaret på den också (från facit?), så jag undrade vad det var du ville ha hjälp med. Nu har tydligen allt löst sig.

tomast80 4245
Postad: 10 feb 2019 09:12 Redigerad: 10 feb 2019 09:12

För det första vet vi att a<0, annars saknar ekvationen x2+a=0x^2+a= 0 lösning och x+7x+7 kan inte vara en faktor (motsvarar att x1=-7x_1=-7).

Då kan vi faktorisera uttrycket medelst konjugatregeln:

x2+a=(x--a)(x+-a)x^2+a=(x-\sqrt{-a})(x+\sqrt{-a})

Den andra faktorn är den vi söker, vilket via identifiering ger:

-a=7\sqrt{-a}=7\Rightarrow

-a=72-a=7^2

a=-49

AlvinB 4014
Postad: 10 feb 2019 09:32

Alternativt kan man ju veta att ett polynom endast har en faktor (x-k)(x-k) om kk är ett nollställe till polynomet. I detta fallet betyder detta att x=-7x=-7 måste vara ett nollställe till polynomet.

Om vi då löser för nollställena får vi:

x2+a=0x^2+a=0

x2=-ax^2=-a

x=±-ax=\pm\sqrt{-a}

För att nu x=-7x=-7 skall vara en av lösningarna krävs att -a=7\sqrt{-a}=7. Det ger:

-a=7\sqrt{-a}=7

-a=49-a=49

a=-49a=-49

Svara
Close