Faktorisering

Vad är din fråga? 

Matte-02 skrev:

Finns det något värde på talet a så att uttrycket x^2 +a innehåller faktorn x+7?

Svaret är a=-49

Om uttrycket $x^2+a$ ska innehålla faktorn $x+7$ så måste uttrycket kunna faktoriseras, dvs kunna skrivas på formen $k(x+7)(x+b)$, där $k$ och $b$ är konstanter.

Multiplicera ihop faktorerna $k(x+7)(x+b)$ och jämför resultatet med ursprungsuttrycket $x^2+a$.

Antalet $x^2$-termer, $x$-termer och konstanttermer ska vara lika många i de båda uttrycken.

Med hjälp av det kan du bestämma vilka värden konstanterna $k$ och $b$ måste ha.

Gör ett försök och visa hur långt du kommer.

Oj jag var kanske otydlig med vad min fråga var, själva frågan är:

Finns det något värde på talet a så att uttrycket x^2 +a innehåller faktorn x+7?

Använd konjugatregeln baklänges. Du vet att $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$. Du behöver ha en faktor som är (x+7). Om det vore så att det var ett plus mellan termerna, och om a vore $7^2=49$, så skulle det fungera... Hmmm...! Det står inte i uppgiften att a måste vara positivt!

När jag multiplicerar  k(x+7)(x+b) får jag (kx² +kxb+7kx+7kb).

Hur ska jag jämföra resultatet som jag fick med x²+a ?

Eller har jag missförstått din förklaring?

Den här gången tror jag att Yngne missförstod uppgiften (det händer oss alla). Pröva den här metoden istället:

Smaragdalena skrev:

Använd konjugatregeln baklänges. Du vet att $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$. Du behöver ha en faktor som är (x+7). Om det vore så att det var ett plus mellan termerna, och om a vore $7^2=49$, så skulle det fungera... Hmmm...! Det står inte i uppgiften att a måste vara positivt!

Jaa, jag förstår nu, tack så mycket till er! 

Nejdå, jag missförstod inte alls uppgiften.

Om man multiplicerar ihop faktorerna får man uttrycket $kx^2+k(b+7)x+7kb$.

Detta ska vara lika med $x^2+a$.

Dessa två polynom är lika (för alla möjliga värden på x) endast om:

• $x^2$-termerna är lika, vilket innebär att $k=1$
• $x$-termerna är lika, vilket innebär att $k(b+7)=0$
• Konstanttermerna är lika, vilket innebär att $7kb=a$

Första ekvationen ger att $k=1$

$k=1$ insatt i andra ekvationen ger oss då att $b+7=0$, dvs $b=-7$

$k=1$ och $b=-7$ insatt i tredje ekvationen ger oss då att $7\cdot 1\cdot (-7)=a$, dvs $a=-49$

-------

Detta var en generell lösningsmetod, som man kan använda även om man inte kommer på genvägen med konjugatregeln som Smaragdalena föreslog.

En annan genväg är att redan från början inse att $k=1$ och istället ansätta faktoriseringen $x^2+a=(x+7)(x+b)$.

Man får då $x^2+a=x^2+(7+b)x+7b$, med samma lösning som ovan.

Matte-02 skrev:

Oj jag var kanske otydlig med vad min fråga var, själva frågan är:

Finns det något värde på talet a så att uttrycket x^2 +a innehåller faktorn x+7?

Jag var väl också otydlig. Den frågan stod ju där, men du hade svaret på den också (från facit?), så jag undrade vad det var du ville ha hjälp med. Nu har tydligen allt löst sig.

För det första vet vi att $a<0$, annars saknar ekvationen $x^2+a= 0$ lösning och $x+7$ kan inte vara en faktor (motsvarar att $x_1=-7$).

Då kan vi faktorisera uttrycket medelst konjugatregeln:

$x^2+a=(x-\sqrt{-a})(x+\sqrt{-a})$

Den andra faktorn är den vi söker, vilket via identifiering ger:

$\sqrt{-a}=7\Rightarrow$

$-a=7^2$

$a=-49$

Alternativt kan man ju veta att ett polynom endast har en faktor $(x-k)$ om $k$ är ett nollställe till polynomet. I detta fallet betyder detta att $x=-7$ måste vara ett nollställe till polynomet.

Om vi då löser för nollställena får vi:

$x^2+a=0$

$x^2=-a$

$x=\pm\sqrt{-a}$

För att nu $x=-7$ skall vara en av lösningarna krävs att $\sqrt{-a}=7$. Det ger:

$\sqrt{-a}=7$

$-a=49$

$a=-49$