Faktorisering

Hej! Nu har jag problem med att förstå mig på faktorisering. Uppgiften i boken säger "Hur kan funktionen $f (x) = x^{2} - 6 x + 5$ skrivas som en faktoriserad form, som en produkt av 2 parenteser...?

Jag minns från min gamla matte(jag har inte läst på ett tag) något om att man kan skriva ut ekvationen som isf skulle bli något så här: $x^{2 =} x \times x . 6 x = 2 \times 3 \times x . 5$ och sedan kunna se vad som är gemensamt för varje term och på så vis kunna bryta ut. Men här kör jag fast lite. Jag vill minnas att kan man inte bryta ut samma från alla 3 termer så stannar det kvar. Hur ska jag göra här? Jag har försökt repetera lite från matteboken men inte hittat, kanske missat, exempel på att få det till 2 parenteser.

Tack för hjälpen.

De vill att du ska skriva uttrycket på formen (x-a)(x-b), där a och b är två konstanter.

Exempel: Uttrycket x²-1 kan på faktoriserad form skrivas (x+1)(x-1).

$x^{2} - 6 x + 5 i (x - a) (x - b)$ ... för att få $x^{2}$ måste ju "x" vara i båda parenteser (x__)(x__) då $x \times x = x^{2}$ .
Sen... $x \times - b = - b x$ . $- a \times x = - a x$ samt $- a \times - b = a b$ .

Då får jag $x^{2} - b x - a x + a b .$ för visst lär jag multiplicera parenteserna med varandra, som i (x+1)(x-1)? som jag tänker ovan $x \times x$ och $x \times - 1$ , sen $+ 1 \times x$ och $+ 1 \times - 1$ . Det fungerar ju då svaret skulle bli $x^{2} - x + x - 1$ där -X och +X tar ut varandra så kvar bli X^2-1.

Då lär jag ju ta reda på vad ggr vad kan bli 5... som också passar in i -ax och -bx... Men rent spontant så sätter jag a=1 och b=5 så får jag $(x - 1) (x - 5) = x^{2} - 5 x - 1 x + 5$ . -5x-1x=-6x alltså x^2-6x+5.

Är inte detta lite likt konjugatregeln? (a-b)(a+b)=a^2-b^2. Förutom att jag inte kan se HL i det jag skrivit.
Nu blev det kanske lite suddigt i det ag skrev men hoppas att det går att tyda.

Tack för svaret!

Bra resonerat och rätt resultat.

Det går utmärkt att bara "gissa" som du gjorde eftersom du direkt kontrollerade ditt förslag på lösning. Den metoden är ofta snabb och säker.

Men ibland kan det vara svårt att gissa en lösning och då kan du lösa problemet på flera andra sätt.

Till exempel kan du hitta faktorerna via nollställena till uttrycket, dvs genom att lösa ekvationen f(x) = 0.

Det ger dig nollställena x₁ = 1 och x₂ = 5, vilket motsvarar a och b i mitt första svar.

(Men det är inte samma sak som konjugatregeln.)

Det kände som om jag var på rätt väg, men behöver plugga på mer grunder verkar det som. Inte konjugatregeln säger du iaf. Men x₁ och x₂ säger du. Det låter som pq-formeln. x²-6x+5 ser ju ut som att det kan sättas direkt i pq-formeln.
$x = \frac{6}{2} \pm \sqrt{{(\frac{6}{2})}^{2}} - 5 \to x = 3 \pm \sqrt{4} \to x_{1} = 1 x_{2} = 5$

hmm, det känns som att det finns ett samband i del hela (haha) som jag inte riktigt är med på än. Men det släpper förhoppningsvis snart! Har redan fått nya problem att lösa!

Tack för hjälpen!

Bra spanat.

Ja, det finns ett generellt samband mellan ett polynoms nollställen och dess faktorisering.

Vi tar andragradspolynom som exempel.

För alla andragradspolynom p(x) = ax²+bx+c gäller att om polynomets nollställen är x₁ och x₂ så kan polynomet skrivas på faktoriserad form p(x) = a(x-x₁)(x-x₂).

Och det stämmer att nollställena x₁ och x₂ låter sig hittas genom att t.ex. med pq-formeln lösa ekvationen p(x) = 0, dvs ax²+bx+c = 0.

Svara

Visa senaste svar