5 svar
380 visningar
Toovee behöver inte mer hjälp
Toovee 32 – Fd. Medlem
Postad: 1 okt 2020 21:29

Faktorisering

Ska faktorisera 1-x2 vilket enligt konjugatregeln blir (1-x)(1+x). Men borde väl bli (x+1)(x-1) eftersom nollställena är x=-1 och x=1 vilket kan faktoriseras enligt (x-x1)(x-x2)?

Henning 2063
Postad: 1 okt 2020 21:45

Du kan skriva (1+x) som (x+1) men däremot är (1-x) inte detsamma som (x-1).
Tecknet framför ett tal/bokstav hör till densamma och du kan byta plats på termer om du tar med tecknet.

Dvs (1-x) = (+1-x)=(-x+1)

AndersW 1622
Postad: 1 okt 2020 21:45

Det du måste tänka på är att när du faktoriserar genom att ta nollställena så blir det k(x-x1)(x-x2). I detta fall blir k = -1.

Toovee 32 – Fd. Medlem
Postad: 2 okt 2020 01:13
AndersW skrev:

Det du måste tänka på är att när du faktoriserar genom att ta nollställena så blir det k(x-x1)(x-x2). I detta fall blir k = -1.

Ok men i alla andra fall ex x=2, x=-3 skriver man ju    (x-2)(x+3) så hur vet man vad k är då?

Yngve 40279 – Livehjälpare
Postad: 2 okt 2020 07:01 Redigerad: 2 okt 2020 07:15

Du bör ta som vana att alltid kontrollera din faktorisering genom att multiplicera ihop faktorerna igen och jämföra produkten med ursprungsuttrycket. Om de är lika så är faktoriseringen korrekt, annars inte.

Vi kontrollerar förslaget (x+1)(x-1)(x+1)(x-1):

(x+1)(x-1)=x2-x+x-1=x2-1(x+1)(x-1)=x^2-x+x-1=x^2-1, vilket inte är lika med 1-x21-x^2. Alltså är faktoriseringen inte korrekt.

===========

Generellt gäller att ett andragradspolynom p(x)=ax2+bx+cp(x)=ax^2+bx+c med nollställen x=x1x=x_1 och x=x2x=x_2 kan faktoriseras enligt p(x)=a(x-x1)(x-x2)p(x)=a(x-x_1)(x-x_2), där aa är koefficienten framför x2x^2-termen. Det här är ett exempel på något som kallas faktorsatsen (Matte 4) och det hänger ihop med nollproduktmetoden. Fråga om du inte förstår varför och vill veta det.

I fallet p(x)=1-x2=-x2+1p(x)=1-x^2=-x^2+1 så gäller att a=-1a=-1 och att nollställena mycket riktigt är x1=-1x_1=-1 och x2=1x_2=1.

Vi får då faktoriseringen p(x)=-1·(x-(-1))(x-1)=p(x)=-1\cdot (x-(-1))(x-1)=

=-(x+1)(x-1)=(x+1)(1-x)=-(x+1)(x-1)=(x+1)(1-x), där vi alltså har multiplicerat in faktorn -1 i den sista parentesen så att (x-1)(x-1) blev (1-x)(1-x).

Kontroll: (x+1)(1-x)=x-x2+1-x=(x+1)(1-x)=x-x^2+1-x=

=-x2+1=1-x2=-x^2+1=1-x^2. Det stämmer.

Klicka här för generalisering till högregradspolynom

Det här gäller generellt för alla polynom, inte bara andragradspolynom.

Exempel: Ett femtegradspolynom p(x)=ax5+bx4+cx3+dx2+ex+fp(x)=ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f med nollställen x1x_1, x2x_2, x3x_3, x4x_4 och x5x_5 kan alltså skrivas på faktoriserad form enligt p(x)=a(x-x1)(x-x2)(x-x3)(x-x4)(x-x5)p(x)=a(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)(x-x_4)(x-x_5)

Det enkla svaret på din fråga om vad kk är är alktså att det är lika med koefficienten framför x2x^2-termen.

I ditt exempel med nollställen x1=2x_1=2, x2=-3x_2=-3 så finns det oändligt många polynom som har dessa två nollställen. Vilka dessa är kan vi enkelt ta reda på genom att använda faktorsatsen "baklänges":

k(x-2)(x-(-3))=k(x-2)(x+3)=k(x-2)(x-(-3))=k(x-2)(x+3)=

=k(x2+x-6)=k(x^2+x-6)

  • Om k=1k=1 så är polynomet x2+x-6x^2+x-6.
  • Om k=-2k=-2 så är polynomet -2x2-2x+12-2x^2-2x+12.
  • Om k=πk=\pi så är polynomet πx2+πx-6π\pi x^2+\pi x-6\pi

Och så vidare.

Alla dessa polynom har samma nollställen, men deras faktoriseringar är alltså ändå olika.

Toovee 32 – Fd. Medlem
Postad: 2 okt 2020 14:20
Yngve skrev:

Du bör ta som vana att alltid kontrollera din faktorisering genom att multiplicera ihop faktorerna igen och jämföra produkten med ursprungsuttrycket. Om de är lika så är faktoriseringen korrekt, annars inte.

Vi kontrollerar förslaget (x+1)(x-1)(x+1)(x-1):

(x+1)(x-1)=x2-x+x-1=x2-1(x+1)(x-1)=x^2-x+x-1=x^2-1, vilket inte är lika med 1-x21-x^2. Alltså är faktoriseringen inte korrekt.

===========

Generellt gäller att ett andragradspolynom p(x)=ax2+bx+cp(x)=ax^2+bx+c med nollställen x=x1x=x_1 och x=x2x=x_2 kan faktoriseras enligt p(x)=a(x-x1)(x-x2)p(x)=a(x-x_1)(x-x_2), där aa är koefficienten framför x2x^2-termen. Det här är ett exempel på något som kallas faktorsatsen (Matte 4) och det hänger ihop med nollproduktmetoden. Fråga om du inte förstår varför och vill veta det.

I fallet p(x)=1-x2=-x2+1p(x)=1-x^2=-x^2+1 så gäller att a=-1a=-1 och att nollställena mycket riktigt är x1=-1x_1=-1 och x2=1x_2=1.

Vi får då faktoriseringen p(x)=-1·(x-(-1))(x-1)=p(x)=-1\cdot (x-(-1))(x-1)=

=-(x+1)(x-1)=(x+1)(1-x)=-(x+1)(x-1)=(x+1)(1-x), där vi alltså har multiplicerat in faktorn -1 i den sista parentesen så att (x-1)(x-1) blev (1-x)(1-x).

Kontroll: (x+1)(1-x)=x-x2+1-x=(x+1)(1-x)=x-x^2+1-x=

=-x2+1=1-x2=-x^2+1=1-x^2. Det stämmer.

Klicka här för generalisering till högregradspolynom

Det här gäller generellt för alla polynom, inte bara andragradspolynom.

Exempel: Ett femtegradspolynom p(x)=ax5+bx4+cx3+dx2+ex+fp(x)=ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f med nollställen x1x_1, x2x_2, x3x_3, x4x_4 och x5x_5 kan alltså skrivas på faktoriserad form enligt p(x)=a(x-x1)(x-x2)(x-x3)(x-x4)(x-x5)p(x)=a(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)(x-x_4)(x-x_5)

Det enkla svaret på din fråga om vad kk är är alktså att det är lika med koefficienten framför x2x^2-termen.

I ditt exempel med nollställen x1=2x_1=2, x2=-3x_2=-3 så finns det oändligt många polynom som har dessa två nollställen. Vilka dessa är kan vi enkelt ta reda på genom att använda faktorsatsen "baklänges":

k(x-2)(x-(-3))=k(x-2)(x+3)=k(x-2)(x-(-3))=k(x-2)(x+3)=

=k(x2+x-6)=k(x^2+x-6)

  • Om k=1k=1 så är polynomet x2+x-6x^2+x-6.
  • Om k=-2k=-2 så är polynomet -2x2-2x+12-2x^2-2x+12.
  • Om k=πk=\pi så är polynomet πx2+πx-6π\pi x^2+\pi x-6\pi

Och så vidare.

Alla dessa polynom har samma nollställen, men deras faktoriseringar är alltså ändå olika.

Ok tack så mycket nu förstår jag! :)

Svara
Close