Faktorisering

Du kan skriva (1+x) som (x+1) men däremot är (1-x) inte detsamma som (x-1).
Tecknet framför ett tal/bokstav hör till densamma och du kan byta plats på termer om du tar med tecknet.

Dvs (1-x) = (+1-x)=(-x+1)

Det du måste tänka på är att när du faktoriserar genom att ta nollställena så blir det k(x-x1)(x-x2). I detta fall blir k = -1.

AndersW skrev:

Det du måste tänka på är att när du faktoriserar genom att ta nollställena så blir det k(x-x1)(x-x2). I detta fall blir k = -1.

Ok men i alla andra fall ex x=2, x=-3 skriver man ju    (x-2)(x+3) så hur vet man vad k är då?

Du bör ta som vana att alltid kontrollera din faktorisering genom att multiplicera ihop faktorerna igen och jämföra produkten med ursprungsuttrycket. Om de är lika så är faktoriseringen korrekt, annars inte.

Vi kontrollerar förslaget $(x+1)(x-1)$:

$(x+1)(x-1)=x^2-x+x-1=x^2-1$, vilket inte är lika med $1-x^2$. Alltså är faktoriseringen inte korrekt.

===========

Generellt gäller att ett andragradspolynom $p(x)=ax^2+bx+c$ med nollställen $x=x_1$ och $x=x_2$ kan faktoriseras enligt $p(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$, där $a$ är koefficienten framför $x^2$-termen. Det här är ett exempel på något som kallas faktorsatsen (Matte 4) och det hänger ihop med nollproduktmetoden. Fråga om du inte förstår varför och vill veta det.

I fallet $p(x)=1-x^2=-x^2+1$ så gäller att $a=-1$ och att nollställena mycket riktigt är $x_1=-1$ och $x_2=1$.

Vi får då faktoriseringen $p(x)=-1\cdot (x-(-1))(x-1)=$

$=-(x+1)(x-1)=(x+1)(1-x)$, där vi alltså har multiplicerat in faktorn -1 i den sista parentesen så att $(x-1)$ blev $(1-x)$.

Kontroll: $(x+1)(1-x)=x-x^2+1-x=$

$=-x^2+1=1-x^2$. Det stämmer.

Det enkla svaret på din fråga om vad $k$ är är alktså att det är lika med koefficienten framför $x^2$-termen.

I ditt exempel med nollställen $x_1=2$, $x_2=-3$ så finns det oändligt många polynom som har dessa två nollställen. Vilka dessa är kan vi enkelt ta reda på genom att använda faktorsatsen "baklänges":

$k(x-2)(x-(-3))=k(x-2)(x+3)=$

$=k(x^2+x-6)$

• Om $k=1$ så är polynomet $x^2+x-6$.
• Om $k=-2$ så är polynomet $-2x^2-2x+12$.
• Om $k=\pi$ så är polynomet $\pi x^2+\pi x-6\pi$

Och så vidare.

Alla dessa polynom har samma nollställen, men deras faktoriseringar är alltså ändå olika.

Yngve skrev:

Du bör ta som vana att alltid kontrollera din faktorisering genom att multiplicera ihop faktorerna igen och jämföra produkten med ursprungsuttrycket. Om de är lika så är faktoriseringen korrekt, annars inte.

Vi kontrollerar förslaget $(x+1)(x-1)$:

$(x+1)(x-1)=x^2-x+x-1=x^2-1$, vilket inte är lika med $1-x^2$. Alltså är faktoriseringen inte korrekt.

===========

Generellt gäller att ett andragradspolynom $p(x)=ax^2+bx+c$ med nollställen $x=x_1$ och $x=x_2$ kan faktoriseras enligt $p(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$, där $a$ är koefficienten framför $x^2$-termen. Det här är ett exempel på något som kallas faktorsatsen (Matte 4) och det hänger ihop med nollproduktmetoden. Fråga om du inte förstår varför och vill veta det.

I fallet $p(x)=1-x^2=-x^2+1$ så gäller att $a=-1$ och att nollställena mycket riktigt är $x_1=-1$ och $x_2=1$.

Vi får då faktoriseringen $p(x)=-1\cdot (x-(-1))(x-1)=$

$=-(x+1)(x-1)=(x+1)(1-x)$, där vi alltså har multiplicerat in faktorn -1 i den sista parentesen så att $(x-1)$ blev $(1-x)$.

Kontroll: $(x+1)(1-x)=x-x^2+1-x=$

$=-x^2+1=1-x^2$. Det stämmer.

Klicka här för generalisering till högregradspolynom

Det här gäller generellt för alla polynom, inte bara andragradspolynom.

Exempel: Ett femtegradspolynom $p(x)=ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f$ med nollställen $x_1$, $x_2$, $x_3$, $x_4$ och $x_5$ kan alltså skrivas på faktoriserad form enligt $p(x)=a(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)(x-x_4)(x-x_5)$

Det enkla svaret på din fråga om vad $k$ är är alktså att det är lika med koefficienten framför $x^2$-termen.

I ditt exempel med nollställen $x_1=2$, $x_2=-3$ så finns det oändligt många polynom som har dessa två nollställen. Vilka dessa är kan vi enkelt ta reda på genom att använda faktorsatsen "baklänges":

$k(x-2)(x-(-3))=k(x-2)(x+3)=$

$=k(x^2+x-6)$

• Om $k=1$ så är polynomet $x^2+x-6$.
• Om $k=-2$ så är polynomet $-2x^2-2x+12$.
• Om $k=\pi$ så är polynomet $\pi x^2+\pi x-6\pi$

Och så vidare.

Alla dessa polynom har samma nollställen, men deras faktoriseringar är alltså ändå olika.

Ok tack så mycket nu förstår jag! :)