Faktorisera x^6+1 så långt som möjligt som en produkt av reella polynom
Frågan: Faktorisera x^6+1 så långt som möjligt som en produkt av reella polynom vars högstagradsfaktorers koefficienter är 1.
Jag tänker (x^2)^3+1^3=(x^2+1)(x^4-x^2+1), vidare förenkling ger imaginära rötter vilket vi inte vill ha då frågan vill ha reella polynom. Problemet är bara att mitt svar är felaktigt och förstår inte hur. Hjälp hade uppskattas enormt
Iggelopiggelo skrev:Frågan: Faktorisera x^6+1 så långt som möjligt som en produkt av reella polynom vars högstagradsfaktorers koefficienter är 1.
Jag tänker (x^2)^3+1^3=(x^2+1)(x^4-x^2+1), vidare förenkling ger imaginära rötter vilket vi inte vill ha då frågan vill ha reella polynom. Problemet är bara att mitt svar är felaktigt och förstår inte hur. Hjälp hade uppskattas enormt
Du kan nog kombinera de komplexa rötterna på så sätt att det blir reella polynom av dem!
Smaragdalena skrev:Iggelopiggelo skrev:Frågan: Faktorisera x^6+1 så långt som möjligt som en produkt av reella polynom vars högstagradsfaktorers koefficienter är 1.
Jag tänker (x^2)^3+1^3=(x^2+1)(x^4-x^2+1), vidare förenkling ger imaginära rötter vilket vi inte vill ha då frågan vill ha reella polynom. Problemet är bara att mitt svar är felaktigt och förstår inte hur. Hjälp hade uppskattas enormt
Du kan nog kombinera de komplexa rötterna på så sätt att det blir reella polynom av dem!
Intressant tanke! Med tanke på att (x^2+1) är färdig förenklat antar jag att det är (x^4-x^2+1) som skall förenklas vidare. Får så krångliga rötter bara, ska försöka igen
Om jag inte minns fel så kan man faktorisera alla polynom med reella koefficienter till produkter av reella faktorer av grad 2 eller lägre.
x^6 +1 = 0 har lösningarna x_k = e^(i(π/6+π/3 k)), k = 0,1,2,3,4,5
De bildar en hexagon i det komplexa talplanet med konjugatparen
x_0, x_5
x_1, x_4
x_2, x_3
Bilda
(x-x_0)(x-x_5) = 1 - Sqrt[3] x + x^2
(x-x_1)(x-x_4) = 1 + x^2
(x-x_2)(x-x_3) = 1 + Sqrt[3] x + x^2
