Faktorisera uttrycket

Ha en fin dag skrev:

Hej! Jag har lite problem med att faktorisera uttrycket 27 + 9x - x (3 + x).

jag började med att skriva det som

9(3 + x) - x(3 + x)

sen tänkte jag (citerar mina tankar just då)

: ”jaha, nu kanske jag bara kan ta bort 3 + x då de tar ut varandra, svaret blir alltså 9-x”  

detta är dock fel och jag har inte helt förstått det här med faktorisering, någon som kan förklara?

Du har startat rätt, 

i uttryckert  9(3 + x) - x(3 + x) har varje term en gemensam faktor som går att bryta ut

nämligen (3+x), då blir det så här:

(3+x)(9-x)

och uttrycket är därmed faktoriserat

Ibland kan det bli rörigt när den gemensamma gatorna är ett uttryck i sig, som här, att den gemensamma faktorn är 3+x.

Då underlättar det ofta att rillfälligt ersätta detta uttryck med en annan symbol, till exempel så här:

27+9x-x(3+x)

Bryt ut 9 ur de första två termerna:

9(3+x)-x(3+x)

Vi ser nu att (3+x) är en gemensam faktor och ci ersätter tillfället denna med a. Om vi sätter a= (3+x) får vi alltså

9•a-x•a

Nu är det enklare att se att faktoriseringen blir a•(9-x).

Nu kan vi byta tillbaka från a till (3+x) och uttrycket blir då (3+x)(9-x).

Yngve skrev:

Ibland kan det bli rörigt när den gemensamma gatorna är ett uttryck i sig, som här, att den gemensamma faktorn är 3+x.

Då underlättar det ofta att rillfälligt ersätta detta uttryck med en annan symbol, till exempel så här:

27+9x-x(3+x)

Bryt ut 9 ur de första två termerna:

9(3+x)-x(3+x)

Vi ser nu att (3+x) är en gemensam faktor och ci ersätter tillfället denna med a. Om vi sätter a= (3+x) får vi alltså

9•a-x•a

Nu är det enklare att se att faktoriseringen blir a•(9-x).

Nu kan vi byta tillbaka från a till (3+x) och uttrycket blir då (3+x)(9-x).

Hej! Tack för ditt svar.

jag hänger med på din förklaring, men det känns fortfarande som att jag inte fattar helt. Hur blir 2 uttryck som 3 + x bara ett 3 + x?

Kanske jätte flummig fråga men vet inte hur annars jag ska formulera mig 

Ha en fin dag skrev:

Hej! Tack för ditt svar.

jag hänger med på din förklaring, men det känns fortfarande som att jag inte fattar helt. Hur blir 2 uttryck som 3 + x bara ett 3 + x?

Jag är osäker på vad du menar med din fråga.

Undrar du hur de två (3+x) i 9(3+x)-x(3+x) blir till bara ett (3+x) i (9-x)(3+x)?

Ha en fin dag skrev:

Yngve skrev:

Ibland kan det bli rörigt när den gemensamma gatorna är ett uttryck i sig, som här, att den gemensamma faktorn är 3+x.

Då underlättar det ofta att rillfälligt ersätta detta uttryck med en annan symbol, till exempel så här:

27+9x-x(3+x)

Bryt ut 9 ur de första två termerna:

9(3+x)-x(3+x)

Vi ser nu att (3+x) är en gemensam faktor och ci ersätter tillfället denna med a. Om vi sätter a= (3+x) får vi alltså

9•a-x•a

Nu är det enklare att se att faktoriseringen blir a•(9-x).

Nu kan vi byta tillbaka från a till (3+x) och uttrycket blir då (3+x)(9-x).

Hej! Tack för ditt svar.

jag hänger med på din förklaring, men det känns fortfarande som att jag inte fattar helt. Hur blir 2 uttryck som 3 + x bara ett 3 + x?

Tycker du att det är konstigt att man kan förenkla 4x+3x till 7x också?

Yngve skrev:

Ha en fin dag skrev:

Hej! Tack för ditt svar.

jag hänger med på din förklaring, men det känns fortfarande som att jag inte fattar helt. Hur blir 2 uttryck som 3 + x bara ett 3 + x?

Jag är osäker på vad du menar med din fråga.

Undrar du hur de två (3+x) i 9(3+x)-x(3+x) blir till bara ett (3+x) i (9-x)(3+x)?

Ja

Smaragdalena skrev:

Ha en fin dag skrev:

Visa föregående citat

Yngve skrev:

Ibland kan det bli rörigt när den gemensamma gatorna är ett uttryck i sig, som här, att den gemensamma faktorn är 3+x.

Då underlättar det ofta att rillfälligt ersätta detta uttryck med en annan symbol, till exempel så här:

27+9x-x(3+x)

Bryt ut 9 ur de första två termerna:

9(3+x)-x(3+x)

Vi ser nu att (3+x) är en gemensam faktor och ci ersätter tillfället denna med a. Om vi sätter a= (3+x) får vi alltså

9•a-x•a

Nu är det enklare att se att faktoriseringen blir a•(9-x).

Nu kan vi byta tillbaka från a till (3+x) och uttrycket blir då (3+x)(9-x).

Hej! Tack för ditt svar.

jag hänger med på din förklaring, men det känns fortfarande som att jag inte fattar helt. Hur blir 2 uttryck som 3 + x bara ett 3 + x?

Tycker du att det är konstigt att man kan förenkla 4x+3x till 7x också?

Nej. 

Tycker du att det är svårt att faktorisera 3(x+2)-2(x+2)?

Smaragdalena skrev:

Tycker du att det är svårt att faktorisera 3(x+2)-2(x+2)?

Nej 

Hu är det med 3(x+2)-x(x+2)? Är det svårt att faktorisera?

Smaragdalena skrev:

Hu är det med 3(x+2)-x(x+2)? Är det svårt att faktorisera?

Det här är hur jag gjorde:

3(x + 2) -x (x+2) 

3x + 6 - (x² + 2x) 

3x + 6 - x²  - 2x

x + 6 - x²

sen tänkte jag att man kunde skriva det som

x + 6 - x • x

och sen ta x-x för att få kvar 6x.

men det blir jättefel. 

Ha en fin dag skrev:

Det här är hur jag gjorde:

3(x + 2) -x (x+2) 

3x + 6 - (x² + 2x) 

3x + 6 - x²  - 2x

x + 6 - x²

sen tänkte jag att man kunde skriva det som

x + 6 - x • x

och sen ta x-x för att få kvar 6x.

men det blir jättefel. 

Allt är rätt fram till sista steget. Men det är nog enklare att använda samma teknik som jag visade dig tidigare, nämligen att ersätta den komplicerade gemensamma faktorn med ett enklare uttryck:

3(x+2) - x(x+2)

Du ser att (x+2) är en gemensam faktor hos de båda termerna. Ersätt denna gemensamma faktor tillfälligt med a. Uttrycket blir då

3•a - x•a

Fortsätt nu att faktorisera detta nya enklare uttryck. Byt sedan tillbaka från a till (x+2)

Visa alla dina räknesteg.

Yngve skrev:

Ha en fin dag skrev:

Det här är hur jag gjorde:

3(x + 2) -x (x+2) 

3x + 6 - (x² + 2x) 

3x + 6 - x²  - 2x

x + 6 - x²

sen tänkte jag att man kunde skriva det som

x + 6 - x • x

och sen ta x-x för att få kvar 6x.

men det blir jättefel. 

Allt är rätt fram till sista steget. Men det är nog enklare att använda samma teknik som jag visade dig tidigare, nämligen att ersätta den komplicerade gemensamma faktorn med ett enklare uttryck:

3(x+2) - x(x+2)

Du ser att (x+2) är en gemensam faktor hos de båda termerna. Ersätt denna gemensamma faktor tillfälligt med a. Uttrycket blir då

3•a - x•a

Fortsätt nu att faktorisera detta nya enklare uttryck. Byt sedan tillbaka från a till (x+2)

Visa alla dina räknesteg.

hej! Tre funderingar:

När jag gör som du säger får jag (x + 2)(3 - x) men det svaret kommer jag fram till genom att följa olika ”steg” utan att egentligen förstå varför det är som det är. 
jag tänker bara att jag tar a och sätter resten i parantes så att det bli a(3-x) . Sen byter jag ut a mot x+2 och får (x + 2) (3-x).

sen skrev du också att allt var rätt fram till sista steget.  men hur är x + 6 - x²  en korrekt faktorisering av uttrycket när  (x+2) (3 -x) också är det? 

och min sista fråga är varför det sista steget inte funkar egentligen? 

Ha en fin dag skrev:

hej! Tre funderingar:

När jag gör som du säger får jag (x + 2)(3 - x) men det svaret kommer jag fram till genom att följa olika ”steg” utan att egentligen förstå varför det är som det är. 
jag tänker bara att jag tar a och sätter resten i parantes så att det bli a(3-x) . Sen byter jag ut a mot x+2 och får (x + 2) (3-x).

Ja, det är helt rätt. Din fråga om varför det är som det är kan vara lite svår att besvara, på samma sätt som det är svårt att förklara varför 2+3 = 5. 

Menar du egentligen att du förstår att det blir som det blir, men att du är osäker på hur du ska göra rent praktiskt för att komma fram till faktoriseringen?

I så fall är svaret: Träna, träna, träna.

sen skrev du också att allt var rätt fram till sista steget.  men hur är x + 6 - x²  en korrekt faktorisering av uttrycket när  (x+2) (3 -x) också är det? 

x+6-x² är en korrekt omskrivning av ursprungsuttrycket, men det är inte en faktorisering. Däremot kan du gå vidare därifrån och ta reda på vilka nollställen x₁ och x₂ som uttrycket har, t.ex. genom att lösa ekvationen x+5-x² = 0. Du kan då skriva faktoriseringen som k(x-x₁)(x-x₂), där du bestämmer konstanten k genom att titta på koeffucienten framför x²-termen.

och min sista fråga är varför det sista steget inte funkar egentligen? 

Du har rätt i att x+6-x² kan skrivas som x+6-x•x. Men i det uttrycket finns inget "x-x" som kan försvinna.

Yngve skrev:

Ha en fin dag skrev:

hej! Tre funderingar:

När jag gör som du säger får jag (x + 2)(3 - x) men det svaret kommer jag fram till genom att följa olika ”steg” utan att egentligen förstå varför det är som det är. 
jag tänker bara att jag tar a och sätter resten i parantes så att det bli a(3-x) . Sen byter jag ut a mot x+2 och får (x + 2) (3-x).

Ja, det är helt rätt. Din fråga om varför det är som det är kan vara lite svår att besvara, på samma sätt som det är svårt att förklara varför 2+3 = 5. 

Menar du egentligen att du förstår att det blir som det blir, men att du är osäker på hur du ska göra rent praktiskt för att komma fram till faktoriseringen?

I så fall är svaret: Träna, träna, träna.

sen skrev du också att allt var rätt fram till sista steget.  men hur är x + 6 - x²  en korrekt faktorisering av uttrycket när  (x+2) (3 -x) också är det? 

x+6-x² är en korrekt omskrivning av ursprungsuttrycket, men det är inte en faktorisering. Däremot kan du gå vidare därifrån och ta reda på vilka nollställen x₁ och x₂ som uttrycket har, t.ex. genom att lösa ekvationen x+5-x² = 0. Du kan då skriva faktoriseringen som k(x-x₁)(x-x₂), där du bestämmer konstanten k genom att titta på koeffucienten framför x²-termen.

och min sista fråga är varför det sista steget inte funkar egentligen? 

Du har rätt i att x+6-x² kan skrivas som x+6-x•x. Men i det uttrycket finns inget "x-x" som kan försvinna.

Då känns det som att jag fattar mer! Tack så mycket för hjälpen