faktorisera polynomet till grad 1 (Matematik/Matte 3/Algebraiska uttryck)

Maremare skrev:
jag har polynomet p(x) = $2 x^{3} - 9 x^{2} + 2$
vars rötter jag har hittat $x_{1, 2, 3} = \frac{1}{2}, 2 \pm \sqrt{6}$
och det jag undrar är om jag ska faktorisera p(x) som produkt av polynom av grad 1 kan man skriva såhär:
p(x) = $2 x^{3} - 9 x^{2} + 2 = (x - \frac{1}{2}) (x - 2 - \sqrt{6}) (x - 2 + \sqrt{6})$
blev osäker på det för det ser så rörigt ut i HL längst ut?

Du kan själv kolla om det stämmer. Vet du hur?

Det ser rätt ut. Hur hittade du rötterna?

Laguna skrev:
Det ser rätt ut. Hur hittade du rötterna?

jag räknade fram eventuella rötter och verifierade genom insättning vilken som var en rot och det var 1/2 som då är en faktor till p(x)

därefter utförde polynomdivisionen p(x) / (x-1/2) för att få fram andragradsfunktion och därefter kvadratkomplettering för de t vå resterande

blev sen dock osäker på om det är så man skriver ut när det är flera termer i parentesen men då verkar det stämma?

Yngve skrev:
Maremare skrev:
jag har polynomet p(x) = $2 x^{3} - 9 x^{2} + 2$
vars rötter jag har hittat $x_{1, 2, 3} = \frac{1}{2}, 2 \pm \sqrt{6}$
och det jag undrar är om jag ska faktorisera p(x) som produkt av polynom av grad 1 kan man skriva såhär:
p(x) = $2 x^{3} - 9 x^{2} + 2 = (x - \frac{1}{2}) (x - 2 - \sqrt{6}) (x - 2 + \sqrt{6})$
blev osäker på det för det ser så rörigt ut i HL längst ut?
Du kan själv kolla om det stämmer. Vet du hur?

det måste väl stämma tänker jag eftersom att det var mina rötter jag fick fram men osäker på skrivsättet.

elr om jag löser ut mina x ensamt för jag mina rötter och sedan sätter in om i parentense? eller hur kollar man

Maremare skrev:
Laguna skrev:
Det ser rätt ut. Hur hittade du rötterna?
jag räknade fram eventuella rötter och verifierade genom insättning vilken som var en rot och det var 1/2 och som i så fall gör att (x-1/2) är en faktor till p(x)
därefter utförde polynomdivisionen p(x) / (x-1/2) för att få fram andragradsfunktion och därefter kvadratkomplettering för de t vå resterande
blev sen dock osäker på om det är så man skriver ut när det är flera termer i parentesen men då verkar det stämma?

nu vet jag en vad som hände här med alla mina svar :S

Jag vet inte hur jag skulle få fram rötterna utom genom nån numerisk metod eller genom att rita.

Eller genom att använda formeln som finns, förstås, men det är för jobbigt. När det finns tre reella rötter blir uttrycken jobbiga.

Laguna skrev:
Jag vet inte hur jag skulle få fram rötterna utom genom nån numerisk metod eller genom att rita.
Eller genom att använda formeln som finns, förstås, men det är för jobbigt. När det finns tre reella rötter blir uttrycken jobbiga.

vet ej riktigt vad numerisk metod men fick fram dom på det sättet jag skrev tidigare, det kanske var en numerisk metod :D

okej men då är jag med på att faktoriseringen av polynomet vad korrekt.

tack!

Det är rätt, förutom att det saknas en $2$ :a. Jag skulle faktoriserat enligt:

$p(x)=2(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)$

Då blir den inledande termen lika med $2x^3$ .

tomast80 skrev:
Det är rätt, förutom att det saknas en $2$ :a. Jag skulle faktoriserat enligt:
$p(x)=2(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)$
Då blir den inledande termen lika med $2x^3$ .

Vart saknas det en 2a? eller hur kan det vara rätt förutom 2an ? :D

Maremare skrev:
tomast80 skrev:
Det är rätt, förutom att det saknas en $2$ :a. Jag skulle faktoriserat enligt:
$p(x)=2(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)$
Då blir den inledande termen lika med $2x^3$ .
Vart saknas det en 2a? eller hur kan det vara rätt förutom 2an ? :D

Undersök vad du får fram för uttryck, om du multiplicerar ihop dina tre parenteser. Blir det samma sak som du hade från början?

Smaragdalena skrev:
Maremare skrev:
tomast80 skrev:
Det är rätt, förutom att det saknas en $2$ :a. Jag skulle faktoriserat enligt:
$p(x)=2(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)$
Då blir den inledande termen lika med $2x^3$ .
Vart saknas det en 2a? eller hur kan det vara rätt förutom 2an ? :D
Undersök vad du får fram för uttryck, om du multiplicerar ihop dina tre parenteser. Blir det samma sak som du hade från början?

en 2a utanför parentesen saknas. Hur ska man veta att den ska vara där? jag har ju mina rötter då p(x) = 0

om jag har fått fram mina rötter, hur skriver jag upp p(x) som produkt av polynom av grad 1, finns det någon formel för det som jag missat?

Alla tredjegradspolynom kan skrivas som p(x)=k(x-x₁)(x-x₂)(x-x₃) där x₁, x₂ och x₃ är rötter till ekvationen p(x)=0*. Ett annat sätt att skriva polynomet är p(x)=ax³+bx²+cx+d. I båda fallen behövs det 4 konstanter för att entydigt beskriva vilket polynom det är.

* Ibland kan två av rötterna vara komplexa, även om a, b, c och d är reella, och i så fall kan tredjegradspolynomet skrivas som p(x)=k(x-x₁)(x²+lx+m), där andragradspolynomet saknar reella rötter.

Smaragdalena skrev:
Alla tredjegradspolynom kan skrivas som p(x)=k(x-x₁)(x-x₂)(x-x₃) där x₁, x₂ och x₃ är rötter till ekvationen p(x)=0*. Ett annat sätt att skriva polynomet är p(x)=ax³+bx²+cx+d. I båda fallen behövs det 4 konstanter för att entydigt beskriva vilket polynom det är.
* Ibland kan två av rötterna vara komplexa, även om a, b, c och d är reella, och i så fall kan tredjegradspolynomet skrivas som p(x)=k(x-x₁)(x²+lx+m), där andragradspolynomet saknar reella rötter.

okej då är jag med, finns det något standard sätt att räkna ut denna konstanten k? eller måste man multiplicera hela parentesen och se vad som "fattas" i VL och HL ? hänger ej med hur man ska räkna ut det, känns som jag missat något i kurslitteraturen gällande denna konstanten k

Det är enkelt - titta på konstanten före x³-termen! Om det inte är "en osynlig etta" famför kubiktermen, så är det k som står där.

Maremare skrev:
okej då är jag med, finns det något standard sätt att räkna ut denna konstanten k? eller måste man multiplicera hela parentesen och se vad som "fattas" i VL och HL ? hänger ej med hur man ska räkna ut det, känns som jag missat något i kurslitteraturen gällande denna konstanten k

Om du går igenom din lösningsmetodik igen så ser du:

$\frac{2 x^{3} - 9 x^{2} + 2}{x - \frac{1}{2}} = 2 x^{2} - 8 x - 4$

Du har sannolikt nu satt HL lika med noll och delat bort tvåan utan att tänka på att den är med i ursprungsuttrycket:

$2 x^{2} - 8 x - 4 = 0 \Leftrightarrow 2 (x^{2} - 4 x - 2) = 0 \Leftrightarrow x = 2 \pm \sqrt{6}$

Du missade alltså bara att delningen av tvåan inte påverkar rötterna men det påverkar din faktorisering:

$p (x) = 2 (x - 2 + \sqrt{6}) (x - 2 - \sqrt{6}) (x - \frac{1}{2})$

Laguna skrev:
Det ser rätt ut. Hur hittade du rötterna?

Som alla andra noterade var jag för snabb igen, så jag glömde faktorn framför x³-termen.

Maremare skrev:
Yngve skrev:

Du kan själv kolla om det stämmer. Vet du hur?
det måste väl stämma tänker jag eftersom att det var mina rötter jag fick fram men osäker på skrivsättet.
elr om jag löser ut mina x ensamt för jag mina rötter och sedan sätter in om i parentense? eller hur kollar man

Du kan kolla genom att multiplicera ihop parenteserna. Om resultatet då blir samma som ursprungspolynomet så är faktoriseringen rätt.

okej skrivs k alltid ut om det annat tal än 1 när man faktoriserar polynomet?

jag menar även om jag skulle skrivit p(x) som en produkt av en 1:a grads och en 2:a grads, skriver jag ut k då med?

Om du vill kan du multiplicera in 2:an i faktorn med roten 1/2: 2(x - 1/2) = 2x - 1.

finns denna information någonstans på matteboken.se ? har svårt att hitta vart jag kan läsa mer om detta

Maremare skrev:
okej skrivs k alltid ut om det annat tal än 1 när man faktoriserar polynomet?
jag menar även om jag skulle skrivit p(x) som en produkt av en 1:a grads och en 2:a grads, skriver jag ut k då med?

Ja det måste du göra, oavsett vilka gradtal du faktoriserar uttrycket till. En faktorisering är ju bara ett annan form på exakt samma uttryck.

Det måste alltså gälla att de båda uttrycken är identiska för att faktoriseringen ska vara korrekt.

Det gäller att $2x^3-9x^2+2=2(x-1/2)(x^2-4x-2)$ , så detta är en korrekt faktorisering.
Det gäller inte att $2x^3-9x^2+2=(x-1/2)(x^2-4x-2)$ , så detta är inte en korrekt faktorisering.