Faktorisera polynom med komplexa rötter

Hjälp uppskattas verkligen, jag har försökt göra pq formeln och fick fram x = ((roten ur 2)/2) +- i/2

Vet inte om detta är rätt och vet aboslut inte hur man ska faktorisera polynomet ifrån detta

Kan någon hjälpa mig lösa detta så jag kan förstå? Detta behöver vara klart innan dagens slut.

EDIT: Det längsta jag kommit fram hittils är $x = - \frac{1}{\sqrt{2}} \pm \sqrt{\frac{1}{2}} i$

Din lösning från PQ-formeln ska inte innehålla något x i HL, så där har det nog blivit något knas. Sätt in $p=\sqrt{2}$ och $q=1$ . Vad får du då? :)

Smutstvätt skrev:
Din lösning från PQ-formeln ska inte innehålla något x i HL, så där har det nog blivit något knas. Sätt in $p=\sqrt{2}$ och $q=1$ . Vad får du då? :)

Det var en felskrivning från min del, det är rättad till nu men problemet kvarstår

Du har alltså ekvationen $x^{2} + \sqrt{2} x + 1 = 0$

Och får med pq-formeln $x = - \frac{\sqrt{2}}{2} \pm \sqrt{\frac{{(\sqrt{2})}^{2}}{2^{2}} - 1} = - \frac{\sqrt{2}}{2} \pm \sqrt{\frac{2}{4} - 1} = - \frac{\sqrt{2}}{2} \pm \sqrt{\frac{2}{4} - \frac{4}{4}}$

Hur fortsätter du härifrån?

Henning skrev:
Du har alltså ekvationen $x^{2} + \sqrt{2} x + 1 = 0$
Och får med pq-formeln $x = - \frac{\sqrt{2}}{2} \pm \sqrt{\frac{{(\sqrt{2})}^{2}}{2^{2}} - 1} = - \frac{\sqrt{2}}{2} \pm \sqrt{\frac{2}{4} - 1} = - \frac{\sqrt{2}}{2} \pm \sqrt{\frac{2}{4} - \frac{4}{4}}$
Hur fortsätter du härifrån?

Jag får fram $x = \frac{\sqrt{2}}{2} \pm \sqrt{- \frac{1}{2}}$

efter detta vet jag inte hur jag ska göra

Det du får fram (missade ett minustecken framför första termen) kan skrivas om enligt $x = - \frac{\sqrt{2}}{2} \pm \sqrt{- \frac{1}{2}} = - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} \pm \sqrt{- 1 \cdot \frac{1}{2}} = - \frac{1}{\sqrt{2}} \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{\frac{1}{2}}$

Här kan du få in i : $\sqrt{- 1} = i$

Vad får du för två rötter?

Henning skrev:
Det du får fram (missade ett minustecken framför första termen) kan skrivas om enligt $x = - \frac{\sqrt{2}}{2} \pm \sqrt{- \frac{1}{2}} = - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} \pm \sqrt{- 1 \cdot \frac{1}{2}} = - \frac{1}{\sqrt{2}} \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{\frac{1}{2}}$
Här kan du få in i : $\sqrt{- 1} = i$
Vad får du för två rötter?

$x = - \frac{1}{\sqrt{2}} \pm \sqrt{\frac{1}{2}} i$

då får jag detta, vet ännu inte hur jag ska faktorisera detta

Ok. Om du har en 2-gradsekvation med rötterna $x_{1} = a o c h x_{2} = b$ så kan du skriva den på följande sätt: $(x - a) \cdot (x - b) = 0$

Dina rötter kan du skriva på följande sätt (kanske blir enklare att läsa) $x_{1} = \frac{1}{\sqrt{2}} (- 1 + i) r e s p x_{2} = \frac{1}{\sqrt{2}} (- 1 - i)$

Då blir ditt polynom $x^{2} + \sqrt{2} \cdot x + 1 = (x - (\frac{1}{\sqrt{2}} (- 1 + i)) \cdot (x - (\frac{1}{\sqrt{2}} (- 1 - i))$

Inte helt lättläst, men ändå två faktorer

Lärorikt exempel i matematiskt hantverk

Henning skrev:
Ok. Om du har en 2-gradsekvation med rötterna $x_{1} = a o c h x_{2} = b$ så kan du skriva den på följande sätt: $(x - a) \cdot (x - b) = 0$
Dina rötter kan du skriva på följande sätt (kanske blir enklare att läsa) $x_{1} = \frac{1}{\sqrt{2}} (- 1 + i) r e s p x_{2} = \frac{1}{\sqrt{2}} (- 1 - i)$
Då blir ditt polynom $x^{2} + \sqrt{2} \cdot x + 1 = (x - (\frac{1}{\sqrt{2}} (- 1 + i)) \cdot (x - (\frac{1}{\sqrt{2}} (- 1 - i))$
Inte helt lättläst, men ändå två faktorer
Lärorikt exempel i matematiskt hantverk

ok tack, hur får man härefter ut argument och absoluttbelopp för rötterna?

Då skulle jag börja med att skriva om talen/rötterna på rektangulär form
Dvs $x_{1} = - \frac{1}{\sqrt{2}} + \sqrt{\frac{1}{2}} i r e s p x_{2} = - \frac{1}{\sqrt{2}} - \sqrt{\frac{1}{2}} i$

Då har du Re-del och Im-del av talen och kan sedan med metoder/kunskap ta fram argument och absolutbelopp för dem
Se här

Svara

Visa senaste svar