Faktorisera polynom

Polynomet

$x^{3} + x^{2} + 2 x + 2$

ska faktoriseras som en produkt av polynom vara koefficienter är heltal och vars koefficienter till högstagradstermerna är positiva.

Jag kan ju lösa andragradsekvationer, det är inga problem, men här har vi ett tredjegradspolynom...

Jag skulle kunna bryta ut ett x, men då blir ju konstanten över...

$x (x^{2} + x + 2) + 2$

Då kan jag ju lösa andragradsekvationen $x^{2} + x + 2 = 0$

Men vad gör jag med +2? Blir det en ensam faktor?

Andragradsekvationen fick två komplexa lösningar.

$x = - 0, 5 \pm \sqrt{- 1, 75} \Leftrightarrow x = - 0, 5 \pm \sqrt{1, 75} i$

Skulle bli glad för vägledning.

Inget i denna uppgift berör ekvationer, då det inte finns något likhetstecken. Du ska skriva om polynomet, som en produkt av två andra polynom med lägre grad. Enda möjliga är att ett av dessa två polynom är av grad 2 och det andra av grad 1. Så du kan tänka dig att

För att få x^3 termen så måste du multiplicera x^2 med ett x. Vi har hittills (x + ?)(x^2 + ?).
För att få 2x måste du multiplicera x med 2, det ger (x + ?)(x^2 + 2)
För att slutligen få en ensam 2:a måste du multiplicera en 1:a med 2:an. du har då (x+1)(x^2+2) som är ditt svar.

Ibland kan det vara enklare att gissa en rot, då får man använda faktorsatsen som säger att (x-k) är en faktor i ett polynom om och endast om k är ett nollställe till polynomet.

Den andragradsekvationen har ingenting med din tredjegradsekvation att göra.

Gissa en faktor! De som konstruerar uppgifterna är (oftast!) inte fullständiga sadister (alternativt är de lite lata) så en tredjegradsekvation brukar ha åtminstone en rot som är ett litet heltal.

x=-1 är ju en lösning om det hade varit en ekvation satt till = 0.

Tack för bra förklaring Lirim.K

Och då kan jag lämna de komplexa lösningarna till ekvationen, förstår nu att de inte hör hit Smaragdalena.

Jag hade också gissat en faktor (testa x=1, x=-1 osv.) och sedan utfört polynomdivision.

Det finns något som heter faktorsatsen. Den ingår i Ma4 om du vill läsa mer om den. Den säger att om ett polynom har en reell heltalsrot så är den en faktor i konstanttermen av polynomet (eller rättare sagt av konstanttermen delad med faktorn framför högsta termen).

Det innebär att du i ditt fall måste ha en rot som är -2, -1, 1 eller 2. Du kan alltså undersöka om någon av faktorerna (x+2), (x+1), (x-1) eller (x-2) delar ditt polynom jämnt ut. Gör den det får du ett andragradsploynom som du sedan kan faktorisera med hjälp av pq-formeln.

Ja, faktorsatsen känner jag till också. Jag har läst matte 4 och har en bra lärobok hemma (men sämre minne tydligen).

Svara

Visa senaste svar