Faktorisera Gaussiska heltal i Z(i)

Hej!

Jag försöker faktorisera (3+9i) i $ℤ$ [i] men får inte samma svar som facit...
Mitt försök:

3+9i
=3(1+3i) bryter ut (3,9)=3
3 = 3¹ (primtalsfaktorisering av 3)
3 $\equiv$ 3 (mod 4) --> 3 primfaktor i $ℤ$ [i] --> 3

N(1+3i) = 1² + 3² = 10
10 = 2¹ * 5¹ (primtalsfaktorisering av 10)
2 = (1+i)(1-i)
5 $\equiv$ 1 (mod 4) --> 5 = a² + b² = 1² + 2²
--> (2+i)(2-i)

eftersom jag använde p $\equiv$ 1 (mod 4) testar jag (2+i)|(1+3i) och (2-i)|(1+3i) och finner att det är (2+i) som delar (1+3i) i $ℤ$ [i], och att (2+i)|(1+3i) = (1+i)

--> 3+9i = 3(1+i)²(1-i)(2+i)

men 3(1+i)²(1-i)(2+i) = (6 + 18i) så någonstans gör jag fel, men var och hur?

Det står uttryckligen att jag ska använda denna metoden så förslag på bättre metoder är tyvärr inte relevant just nu.

Tack på förhand!

Du verkar ha tagit med för många faktorer helt enkelt. Du har kommit fram till att 2 = (1 + i)(1 - i), nu har du att (1 + 3i)/(1 + i) = 2 + i. Här är vi ju faktiskt färdig, detta eftersom vi vet att (1 + 3i) = (1 + i)(2 + i) och att (2 + i) inte går att faktorisera mer. Därför får man att

3 + 9i = 3(1 + 3i) = 3(1 + i)(2 + i)

Svara