15 svar
1253 visningar
M4773 behöver inte mer hjälp
M4773 33
Postad: 3 apr 2017 23:33

Faktorisera ax^2+bx+c

Hej

Frågan lyder: En andragradskurva skär x-axeln i punkterna (1,0) och (4,0) och y-axeln i punkten (0,8). Bestäm dess funktion i formen y=ax^2+bx+c

Lösningen säger: Använd funktionens nollställen är x=1 och x=4 och skriv funktionen i faktoriserad form: y=a(x-1)(x-4)

Sen fortsätter den och förklarar hur man kommer fram till a osv. men det var här det tog stopp.

Hur gör jag för att faktorisera y=ax^2+bx+c => y=a(x-1)(x-4)?

statement 2574 – Fd. Medlem
Postad: 3 apr 2017 23:36 Redigerad: 3 apr 2017 23:36

Utveckla y=k*(x-1)(x-4) och jämför ekvationen med y=ax^2+bx+c.

Yngve 40174 – Livehjälpare
Postad: 3 apr 2017 23:37 Redigerad: 3 apr 2017 23:38

Gå åt andra hållet.

Multiplicera ihop a(x-1)(x-4).

Det uttryck du får ska vara identiskt med ax^2+bx+c.

Då får du direkt ut vad b och c är.

Vet du hur du sedan ska göra för att bestämma a?

M4773 33
Postad: 3 apr 2017 23:43
Yngve skrev :

Gå åt andra hållet.

Multiplicera ihop a(x-1)(x-4).

Det uttryck du får ska vara identiskt med ax^2+bx+c.

Då får du direkt ut vad b och c är.

Vet du hur du sedan ska göra för att bestämma a?

ax^2-5ax+4a

Men hur vet jag att ax^2+bx+c faktoriserade form är a(x- )(x- )? Försökte hitta i vår bok men hittade ingenting som kunde förklara

M4773 33
Postad: 3 apr 2017 23:45
statement skrev :

Utveckla y=k*(x-1)(x-4) och jämför ekvationen med y=ax^2+bx+c.

kx^2+-5kx+4k?

Men hur vet jag att ax^2+bx+c faktoriserade form är k(x- )(x- )? Försökte hitta i vår bok men hittade ingenting som kunde förklara

Aiyangar 37
Postad: 3 apr 2017 23:57 Redigerad: 3 apr 2017 23:58

Du vet att nollställena ges av x1=1    &  x2=4;

Alltså kan du skriva polynomet enligt f(x)=(x-1)(x-4)

Nu vet du att:

 för x=0 f(x)=8 Dock,   f(0)=(0-1)(0-4) = 4    Uppenbarligen :48;

Därför är du i behov att tillföra en konstant. Du behöver inte tänka på att tillföra en till variabel, eftersom det redan faktoriserade uttrycket är av korrekt grad (2:a grad om du multiplicerar ihop paranteserna, OK!) 

 Vi tillför en konstant C:

f(x)=C(x-1)(x-4)f(0)=8    C(0-1)(0-4)=8    4C=8;4C = 8     C=2   f(x)=2(x-1)(x-4)     f(x)= 2(x2-x-4x+4)=2x2-10x+8;

 

Kontroll:

f(1)=0    f(1)=2(1)2-10(1)+8=2-10+8=0 OK!f(4)=0    f(4)=2(4)2-10(2)+8=32-40+8=0 OK!f(0)=8    f(0)=2(0)2-10(0)+8=0-0+8=8 OK!

 

SVAR: f(x)=2x2-10x+8;

M4773 33
Postad: 4 apr 2017 00:05
Aiyangar skrev :

Du vet att nollställena ges av x1=1    &  x2=4;

Alltså kan du skriva polynomet enligt f(x)=(x-1)(x-4)

Nu vet du att:

 för x=0 f(x)=8 Dock,   f(0)=(0-1)(0-4) = 4    Uppenbarligen :48;

Därför är du i behov att tillföra en konstant. Du behöver inte tänka på att tillföra en till variabel, eftersom det redan faktoriserade uttrycket är av korrekt grad (2:a grad om du multiplicerar ihop paranteserna, OK!) 

 Vi tillför en konstant C:

f(x)=C(x-1)(x-4)f(0)=8    C(0-1)(0-4)=8    4C=8;4C = 8     C=2   f(x)=2(x-1)(x-4)     f(x)= 2(x2-x-4x+4)=2x2-10x+8;

 

Kontroll:

f(1)=0    f(1)=2(1)2-10(1)+8=2-10+8=0 OK!f(4)=0    f(4)=2(4)2-10(2)+8=32-40+8=0 OK!f(0)=8    f(0)=2(0)2-10(0)+8=0-0+8=8 OK!

 

SVAR: f(x)=2x2-10x+8;

Tack för svar. Tror dock inte det var på detta sätt som vi skulle lösa uppgiften dock. Du nämner någonting som kallas för polynom, detta finns inte med någonstans i kapitlet vi arbetar med, så även om alla ekvationer stämmer och svaret är det samma som i facit så är det inte meningen att vi skulle lösa den på detta sätt utan på det sätt som nämns i min fråga. Tackar ändå för svar.

Aiyangar 37
Postad: 4 apr 2017 00:11

Jag är kanske inte riktigt med i din fråga, är idén att man ska utveckla a(x-1)(x-4) till något liknande ax^2+bx+c?

För i sådana fall ser lösningen ut så här: 

 

a(x-1)(x-4)=a(x2-x-4x+4)(*);(*)  a(x2-5x+4)=ax2-5ax+4a.   i)f(0) = 8   a(0)2-5a(0)+4a=8   4a=8 a=2;Sätter in a=2 i ekvation i):2x2-10x+8;

M4773 33
Postad: 4 apr 2017 00:19
Aiyangar skrev :

Jag är kanske inte riktigt med i din fråga, är idén att man ska utveckla a(x-1)(x-4) till något liknande ax^2+bx+c?

För i sådana fall ser lösningen ut så här: 

 

a(x-1)(x-4)=a(x2-x-4x+4)(*);(*)  a(x2-5x+4)=ax2-5ax+4a.   i)f(0) = 8 ⇔  a(0)2-5a(0)+4a=8  ⇔ 4a=8 ⇒a=2;Sätter in a=2 i ekvation i):2x2-10x+8;

Typ, fast åt andra hållet. Hur tänker du när du har ekvationen ax^2+bx+c, nollsällena, vart den skär y och få det till a(x-1)(x-4)?

Smaragdalena 80504 – Avstängd
Postad: 4 apr 2017 08:24

Vilken bok använder du? Det står säkert någonstans i den om nollproduktmetoden, d v s om du vill lösa ekvationen (x-4)(2x+3) = 0 så måste antingen den ena eller den andra parentesen vara 0, annars skulle inte produkten inte kunnat bli 0. Alltså kan du ganska lätt få fram nollställena, när ekvationen är skriven på det sättet. Men du kan använda det åt andra hållet också - om du vet vilka nollställen du har kan du "konstruera parenteserna" och i ditt fall vet du att x=4 är ett nollställe, så då måste (x-4) vara den ena parentesen, och att x=1 är det andra nollstället, så (x-1) måste vara den andra parentesen. Så f(x) = (x-4)(x-1)  är en andragradsfunktion med korrekta nollställen, men det är f(x) = k(x-4)(x-1) också. Och eftersom du vet att den önskade andragradsfunktionen skall gå genom punkten (0,8) också, kan vi sätta in x-värdet 0 i funktionen f(x) = k(x-4)(x-1) och få att f(0) = 0+0+4k = 4k, så om 4k = 8 måste k ha värdet 2.

M4773 33
Postad: 4 apr 2017 20:04
smaragdalena skrev :

Vilken bok använder du? Det står säkert någonstans i den om nollproduktmetoden, d v s om du vill lösa ekvationen (x-4)(2x+3) = 0 så måste antingen den ena eller den andra parentesen vara 0, annars skulle inte produkten inte kunnat bli 0. Alltså kan du ganska lätt få fram nollställena, när ekvationen är skriven på det sättet. Men du kan använda det åt andra hållet också - om du vet vilka nollställen du har kan du "konstruera parenteserna" och i ditt fall vet du att x=4 är ett nollställe, så då måste (x-4) vara den ena parentesen, och att x=1 är det andra nollstället, så (x-1) måste vara den andra parentesen. Så f(x) = (x-4)(x-1)  är en andragradsfunktion med korrekta nollställen, men det är f(x) = k(x-4)(x-1) också. Och eftersom du vet att den önskade andragradsfunktionen skall gå genom punkten (0,8) också, kan vi sätta in x-värdet 0 i funktionen f(x) = k(x-4)(x-1) och få att f(0) = 0+0+4k = 4k, så om 4k = 8 måste k ha värdet 2.

Tack, tror jag fattar. Vi använder "Exponent 2c" men hittar ingenting som kallas för nollproduktsmetoden.

Smaragdalena 80504 – Avstängd
Postad: 4 apr 2017 23:14 Redigerad: 4 apr 2017 23:18

Konstigt - jag är nästan säker på att det är med i exponent 2b (men jag har inte böckerna hemma, så jag kan inte kolla). Jag är 100 % säker på att de har med metoden, men bara typ 90 % säker på att de har med namnet.Först går de igenom enkla andragradsekvationer av typen x2 = 25, sedan av typen (x-2)(x+3)=0 som man löser med nollproduktmetoden, sedan typen x2-3x= 0 där manbehöver faktorisera innan man kan använda nollproduktmetoden och till sist fullständiga andragradsekvationer där man antingen kan använda kvadratkomplettering eller pq-formeln.

M4773 33
Postad: 4 apr 2017 23:17
smaragdalena skrev :

Konstigt - jag är nästan säker på att det är med i exponent 2b (men jag har inte böckerna hemma, så jag kan inte kolla).

Okej, men tror jag fattar ändå. Kollade i 2c igen men hittade återigen inget.

Albiki 5096 – Fd. Medlem
Postad: 5 apr 2017 00:48

Hej M4773!

Andragradskurvan y(x)=ax2+bx+c y(x) = ax^2+bx+c skär x-axeln i punkten (1,0). Det betyder att y(1)=0. y(1) = 0. Eftersom det handlar om en andragradskurva så betyder det att du kan skriva kurvan som

    y(x)=a·(x-1)(x-d), \displaystyle y(x) = a\cdot (x-1)(x-d),

där andragradskurvan skär x-axeln i punkten (d,0) . (d,0)\ . Notera att

    y(1)=a·(1-1)·(1-d)=a·0·(1-d)=0. y(1) = a\cdot (1-1)\cdot (1-d) = a\cdot 0 \cdot (1-d) = 0.  

Du får också veta att andragradskurvan skär x-axeln i punkten (4,0) (4,0) , så detta talar om för dig att d=4. d = 4.

Du vet nu att y(x)=a·(x-1)(x-4) y(x) = a\cdot(x-1)(x-4) . Du får också veta att andragradskurvan skär y-axeln i punkten (0,8). (0,8). Det betyder att y(0)=8 y(0) = 8 , vilket talar om för dig att

    8=y(0)=a·(0-1)(0-4)=4a. \displaystyle 8 = y(0) = a \cdot (0-1)(0-4) = 4a.

Denna ekvation talar om för dig vilket värde talet a a har.

Albiki

M4773 33
Postad: 5 apr 2017 10:39
Albiki skrev :

Hej M4773!

Andragradskurvan y(x)=ax2+bx+c y(x) = ax^2+bx+c skär x-axeln i punkten (1,0). Det betyder att y(1)=0. y(1) = 0. Eftersom det handlar om en andragradskurva så betyder det att du kan skriva kurvan som

    y(x)=a·(x-1)(x-d), \displaystyle y(x) = a\cdot (x-1)(x-d),

där andragradskurvan skär x-axeln i punkten (d,0) . (d,0)\ . Notera att

    y(1)=a·(1-1)·(1-d)=a·0·(1-d)=0. y(1) = a\cdot (1-1)\cdot (1-d) = a\cdot 0 \cdot (1-d) = 0.  

Du får också veta att andragradskurvan skär x-axeln i punkten (4,0) (4,0) , så detta talar om för dig att d=4. d = 4.

Du vet nu att y(x)=a·(x-1)(x-4) y(x) = a\cdot(x-1)(x-4) . Du får också veta att andragradskurvan skär y-axeln i punkten (0,8). (0,8). Det betyder att y(0)=8 y(0) = 8 , vilket talar om för dig att

    8=y(0)=a·(0-1)(0-4)=4a. \displaystyle 8 = y(0) = a \cdot (0-1)(0-4) = 4a.

Denna ekvation talar om för dig vilket värde talet a a har.

Albiki

Du säger att eftersom det handlar om en andragradskurva så betyder det att du kan skriva kurvan som y(x)=a*(x-1)(1-d)

Det är det som är min fråga, hur skriver man om ax^2+bx+c till a*(x-1)(1-d)?

Smaragdalena 80504 – Avstängd
Postad: 5 apr 2017 16:48

Det beskrev jag tidigare:

Men du kan använda det åt andra hållet också - om du vet vilka nollställen du har kan du "konstruera parenteserna" och i ditt fall vet du att x=4 är ett nollställe, så då måste (x-4) vara den ena parentesen, och att x=1 är det andra nollstället, så (x-1) måste vara den andra parentesen. Så f(x) = (x-4)(x-1) är en andragradsfunktion med korrekta nollställen, men det är f(x) = k(x-4)(x-1) också. Och eftersom du vet att den önskade andragradsfunktionen skall gå genom punkten (0,8) också, kan vi sätta in x-värdet 0 i funktionen f(x) = k(x-4)(x-1) och få att f(0) = 0+0+4k = 4k, så om 4k = 8 måste k ha värdet 2.

Svara
Close