Faktorisera ax^2+bx+c

Utveckla y=k*(x-1)(x-4) och jämför ekvationen med y=ax^2+bx+c.

Gå åt andra hållet.

Multiplicera ihop a(x-1)(x-4).

Det uttryck du får ska vara identiskt med ax^2+bx+c.

Då får du direkt ut vad b och c är.

Vet du hur du sedan ska göra för att bestämma a?

Yngve skrev :

Gå åt andra hållet.

Multiplicera ihop a(x-1)(x-4).

Det uttryck du får ska vara identiskt med ax^2+bx+c.

Då får du direkt ut vad b och c är.

Vet du hur du sedan ska göra för att bestämma a?

ax^2-5ax+4a

Men hur vet jag att ax^2+bx+c faktoriserade form är a(x- )(x- )? Försökte hitta i vår bok men hittade ingenting som kunde förklara

statement skrev :

Utveckla y=k*(x-1)(x-4) och jämför ekvationen med y=ax^2+bx+c.

kx^2+-5kx+4k?

Men hur vet jag att ax^2+bx+c faktoriserade form är k(x- )(x- )? Försökte hitta i vår bok men hittade ingenting som kunde förklara

Du vet att nollställena ges av $x_1=1 \&\hspace{0.17em} x_2=4$;

Alltså kan du skriva polynomet enligt $f\left(x\right)=(x-1)(x-4)$; 

Nu vet du att:

 $$\begin{gathered} för x=0 \Rightarrow f\left(x\right)=8 \\ Dock, f\left(0\right)=(\mathbf{0}-1)(\mathbf{0}-4) = 4 \\ \because Uppenbarligen :\hspace{0.17em}4\ne 8; \end{gathered}$$

Därför är du i behov att tillföra en konstant. Du behöver inte tänka på att tillföra en till variabel, eftersom det redan faktoriserade uttrycket är av korrekt grad (2:a grad om du multiplicerar ihop paranteserna, OK!) 

 Vi tillför en konstant C:

$$\begin{gathered} f\left(x\right)=C(x-1)(x-4) \\ f\left(0\right)=8 \iff C(\mathbf{0}-1)(\mathbf{0}-4)=8 \iff 4C=8; \\ 4C = 8 \Rightarrow C=2 \\ \therefore f\left(x\right)=2(x-1)(x-4) \iff f\left(x\right)= 2(x^2-x-4x+4)=2x^2-10x+8; \end{gathered}$$

Kontroll:

$$\begin{gathered} f\left(1\right)=0 \Rightarrow f\left(1\right)=2(1{)}^2-10(1)+8=2-10+8=0 OK! \\ f(4)=0 \Rightarrow f(4)=2(4{)}^2-10\left(2\right)+8=32-40+8=0 OK! \\ f\left(0\right)=8 \Rightarrow f\left(0\right)=2(0{)}^2-10(0)+8=0-0+8=8 OK! \end{gathered}$$

SVAR: $f\left(x\right)=2x^2-10x+8;$

Aiyangar skrev :

Du vet att nollställena ges av $x_1=1 \&\hspace{0.17em} x_2=4$;

Alltså kan du skriva polynomet enligt $f\left(x\right)=(x-1)(x-4)$; 

Nu vet du att:

 $$\begin{gathered} för x=0 \Rightarrow f\left(x\right)=8 \\ Dock, f\left(0\right)=(\mathbf{0}-1)(\mathbf{0}-4) = 4 \\ \because Uppenbarligen :\hspace{0.17em}4\ne 8; \end{gathered}$$

Därför är du i behov att tillföra en konstant. Du behöver inte tänka på att tillföra en till variabel, eftersom det redan faktoriserade uttrycket är av korrekt grad (2:a grad om du multiplicerar ihop paranteserna, OK!) 

 Vi tillför en konstant C:

$$\begin{gathered} f\left(x\right)=C(x-1)(x-4) \\ f\left(0\right)=8 \iff C(\mathbf{0}-1)(\mathbf{0}-4)=8 \iff 4C=8; \\ 4C = 8 \Rightarrow C=2 \\ \therefore f\left(x\right)=2(x-1)(x-4) \iff f\left(x\right)= 2(x^2-x-4x+4)=2x^2-10x+8; \end{gathered}$$

 

Kontroll:

$$\begin{gathered} f\left(1\right)=0 \Rightarrow f\left(1\right)=2(1{)}^2-10(1)+8=2-10+8=0 OK! \\ f(4)=0 \Rightarrow f(4)=2(4{)}^2-10\left(2\right)+8=32-40+8=0 OK! \\ f\left(0\right)=8 \Rightarrow f\left(0\right)=2(0{)}^2-10(0)+8=0-0+8=8 OK! \end{gathered}$$

 

SVAR: $f\left(x\right)=2x^2-10x+8;$

Tack för svar. Tror dock inte det var på detta sätt som vi skulle lösa uppgiften dock. Du nämner någonting som kallas för polynom, detta finns inte med någonstans i kapitlet vi arbetar med, så även om alla ekvationer stämmer och svaret är det samma som i facit så är det inte meningen att vi skulle lösa den på detta sätt utan på det sätt som nämns i min fråga. Tackar ändå för svar.

Jag är kanske inte riktigt med i din fråga, är idén att man ska utveckla a(x-1)(x-4) till något liknande ax^2+bx+c?

För i sådana fall ser lösningen ut så här: 

$$\begin{gathered} a(x-1)(x-4)=a(x^2-x-4x+4{)}^{(*)}; \\ { \\ }^{(*)} a(x^2-5x+4)=a{x}^2-5ax+4a. i) \\ f\left(0\right) = 8 \iff a(0{)}^2-5a(0)+4a=8 \iff 4a=8 \Rightarrow a=2; \\ Sätter in a=2 i ekvation i): \\ 2x^2-10x+8; \end{gathered}$$

Aiyangar skrev :

Jag är kanske inte riktigt med i din fråga, är idén att man ska utveckla a(x-1)(x-4) till något liknande ax^2+bx+c?

För i sådana fall ser lösningen ut så här: 

 

a(x-1)(x-4)=a(x2-x-4x+4)(*);(*)  a(x2-5x+4)=ax2-5ax+4a.   i)f(0) = 8 ⇔  a(0)2-5a(0)+4a=8  ⇔ 4a=8 ⇒a=2;Sätter in a=2 i ekvation i):2x2-10x+8;

Typ, fast åt andra hållet. Hur tänker du när du har ekvationen ax^2+bx+c, nollsällena, vart den skär y och få det till a(x-1)(x-4)?

Vilken bok använder du? Det står säkert någonstans i den om nollproduktmetoden, d v s om du vill lösa ekvationen (x-4)(2x+3) = 0 så måste antingen den ena eller den andra parentesen vara 0, annars skulle inte produkten inte kunnat bli 0. Alltså kan du ganska lätt få fram nollställena, när ekvationen är skriven på det sättet. Men du kan använda det åt andra hållet också - om du vet vilka nollställen du har kan du "konstruera parenteserna" och i ditt fall vet du att x=4 är ett nollställe, så då måste (x-4) vara den ena parentesen, och att x=1 är det andra nollstället, så (x-1) måste vara den andra parentesen. Så f(x) = (x-4)(x-1)  är en andragradsfunktion med korrekta nollställen, men det är f(x) = k(x-4)(x-1) också. Och eftersom du vet att den önskade andragradsfunktionen skall gå genom punkten (0,8) också, kan vi sätta in x-värdet 0 i funktionen f(x) = k(x-4)(x-1) och få att f(0) = 0+0+4k = 4k, så om 4k = 8 måste k ha värdet 2.

smaragdalena skrev :

Vilken bok använder du? Det står säkert någonstans i den om nollproduktmetoden, d v s om du vill lösa ekvationen (x-4)(2x+3) = 0 så måste antingen den ena eller den andra parentesen vara 0, annars skulle inte produkten inte kunnat bli 0. Alltså kan du ganska lätt få fram nollställena, när ekvationen är skriven på det sättet. Men du kan använda det åt andra hållet också - om du vet vilka nollställen du har kan du "konstruera parenteserna" och i ditt fall vet du att x=4 är ett nollställe, så då måste (x-4) vara den ena parentesen, och att x=1 är det andra nollstället, så (x-1) måste vara den andra parentesen. Så f(x) = (x-4)(x-1)  är en andragradsfunktion med korrekta nollställen, men det är f(x) = k(x-4)(x-1) också. Och eftersom du vet att den önskade andragradsfunktionen skall gå genom punkten (0,8) också, kan vi sätta in x-värdet 0 i funktionen f(x) = k(x-4)(x-1) och få att f(0) = 0+0+4k = 4k, så om 4k = 8 måste k ha värdet 2.

Tack, tror jag fattar. Vi använder "Exponent 2c" men hittar ingenting som kallas för nollproduktsmetoden.

Konstigt - jag är nästan säker på att det är med i exponent 2b (men jag har inte böckerna hemma, så jag kan inte kolla). Jag är 100 % säker på att de har med metoden, men bara typ 90 % säker på att de har med namnet.Först går de igenom enkla andragradsekvationer av typen $x^2 = 25$, sedan av typen (x-2)(x+3)=0 som man löser med nollproduktmetoden, sedan typen $x2-3x\hspace{0.17em}= 0$ där manbehöver faktorisera innan man kan använda nollproduktmetoden och till sist fullständiga andragradsekvationer där man antingen kan använda kvadratkomplettering eller pq-formeln.

smaragdalena skrev :

Konstigt - jag är nästan säker på att det är med i exponent 2b (men jag har inte böckerna hemma, så jag kan inte kolla).

Okej, men tror jag fattar ändå. Kollade i 2c igen men hittade återigen inget.

Hej M4773!

Andragradskurvan $y(x) = ax^2+bx+c$ skär x-axeln i punkten (1,0). Det betyder att $y(1) = 0.$ Eftersom det handlar om en andragradskurva så betyder det att du kan skriva kurvan som

    $\displaystyle y(x) = a\cdot (x-1)(x-d),$

där andragradskurvan skär x-axeln i punkten $(d,0)\ .$ Notera att

    $y(1) = a\cdot (1-1)\cdot (1-d) = a\cdot 0 \cdot (1-d) = 0.$ 

Du får också veta att andragradskurvan skär x-axeln i punkten $(4,0)$, så detta talar om för dig att $d = 4.$

Du vet nu att $y(x) = a\cdot(x-1)(x-4)$. Du får också veta att andragradskurvan skär y-axeln i punkten $(0,8).$ Det betyder att $y(0) = 8$, vilket talar om för dig att

    $\displaystyle 8 = y(0) = a \cdot (0-1)(0-4) = 4a.$

Denna ekvation talar om för dig vilket värde talet $a$ har.

Albiki

Albiki skrev :

Hej M4773!

Andragradskurvan $y(x) = ax^2+bx+c$ skär x-axeln i punkten (1,0). Det betyder att $y(1) = 0.$ Eftersom det handlar om en andragradskurva så betyder det att du kan skriva kurvan som

    $\displaystyle y(x) = a\cdot (x-1)(x-d),$

där andragradskurvan skär x-axeln i punkten $(d,0)\ .$ Notera att

    $y(1) = a\cdot (1-1)\cdot (1-d) = a\cdot 0 \cdot (1-d) = 0.$ 

Du får också veta att andragradskurvan skär x-axeln i punkten $(4,0)$, så detta talar om för dig att $d = 4.$

Du vet nu att $y(x) = a\cdot(x-1)(x-4)$. Du får också veta att andragradskurvan skär y-axeln i punkten $(0,8).$ Det betyder att $y(0) = 8$, vilket talar om för dig att

    $\displaystyle 8 = y(0) = a \cdot (0-1)(0-4) = 4a.$

Denna ekvation talar om för dig vilket värde talet $a$ har.

Albiki

Du säger att eftersom det handlar om en andragradskurva så betyder det att du kan skriva kurvan som y(x)=a*(x-1)(1-d)

Det är det som är min fråga, hur skriver man om ax^2+bx+c till a*(x-1)(1-d)?

Det beskrev jag tidigare:

Men du kan använda det åt andra hållet också - om du vet vilka nollställen du har kan du "konstruera parenteserna" och i ditt fall vet du att x=4 är ett nollställe, så då måste (x-4) vara den ena parentesen, och att x=1 är det andra nollstället, så (x-1) måste vara den andra parentesen. Så f(x) = (x-4)(x-1) är en andragradsfunktion med korrekta nollställen, men det är f(x) = k(x-4)(x-1) också. Och eftersom du vet att den önskade andragradsfunktionen skall gå genom punkten (0,8) också, kan vi sätta in x-värdet 0 i funktionen f(x) = k(x-4)(x-1) och få att f(0) = 0+0+4k = 4k, så om 4k = 8 måste k ha värdet 2.