Faktorisera

Börja med konjugatregeln en gång. Sedan en till gång. 

Dr. G skrev:

Börja med konjugatregeln en gång. Sedan en till gång. 

Alltså $(x-1)(x+1)(x-1)(x+1)?$

eller $(x^2-1)(x^2-1)?$

Student02 skrev:

Dr. G skrev:

Börja med konjugatregeln en gång. Sedan en till gång. 

Alltså $(x-1)(x+1)(x-1)(x+1)?$

eller $(x^2-1)(x^2-1)?$

Nej de polynom du har skrivit har gradtal 4, inte 8, så de är inte lika med ursprungspolynomet.

Skriv istället först $x^{16}$ som $(x^8)^2$. Då blir polynomet $(x^8)^2-1$.

Vad får du om du använder konjugatregeln på det polynomet?

Yngve skrev:

Student02 skrev:

Visa föregående citat

Dr. G skrev:

Börja med konjugatregeln en gång. Sedan en till gång. 

Alltså $(x-1)(x+1)(x-1)(x+1)?$

eller $(x^2-1)(x^2-1)?$

Skriv $x^{16}$ som $(x^8)^2$.

Då blir polynomet $(x^8)^2-1$.

Vad får du om du använder konjugatregeln på det polynomet?

Jag får väl $(x^8-1)(x^8+1)$?

Student02 skrev:

Jag får väl $(x^8-1)(x^8+1)$?

Ja det stämmer. Kan du gå vidare med någon av dessa faktorer?

Yngve skrev:

Student02 skrev:

Jag får väl $(x^8-1)(x^8+1)$?

Ja det stämmer. Kan du gå vidare med någon av dessa faktorer?

Nej, det tror jag ej. Eller, 8 är ju = 2 upphöjt med 3? Kan man gå vidare med den informationen, eller ska jag bara stanna vid_{$(x^8-1)(x^8+1)$}?

Student02 skrev:

Nej, det tror jag ej. Eller, 8 är ju = 2 upphöjt med 3? Kan man gå vidare med den informationen, eller ska jag bara stanna vid_{$(x^8-1)(x^8+1)$}?

Bra tänkt, men just den vägen leder inte vidare. Däremot kan även se det som att 8 = 4*2 eller hur? ;-)

Den första parentesen kan förenklas fler gånger med hjälp av konjugatregeln. Komjugatregeln är ju (nånting plus nåntingannat)(nånting minus nåntingannat) = (nånting i kvadrat) minus(nåntingannat i kvadrat) så om man har en kvadrat minus en annan kvadrat kan man använda konjugatregeln baklänges.

Yngve skrev:

Student02 skrev:

Nej, det tror jag ej. Eller, 8 är ju = 2 upphöjt med 3? Kan man gå vidare med den informationen, eller ska jag bara stanna vid_{$(x^8-1)(x^8+1)$}?

Bra tänkt, men just den vägen leder inte vidare. Däremot kan även se det som att 8 = 4*2 eller hur? ;-)

Klicka här för ännu en ledtråd

På samma sätt som du delade upp exponenten 16 i 8*2 så kan du dela upp exponenten i 4*2

Juste!! Okej, men om jag ska fortsätta som du gjorde blir det väl såhär: 

$({\left(x^4\right)}^2-1)$

Tror att jag har fastnat nu... Eller, jag kan ju göra såhär: $(x^4-1)(x^4+1)?$Fast det blir ju = $x^8-1$, ska man köra ${\left(\right(x^4)}^4-1?$

Du VILL ju faktorisera x⁸-1, eller hur?! Så att det blir (x⁴+1)(x⁴-1) är ju perfekt! Vilken av faktorerna i (x⁴+1)(x⁴-1) kan du faktorisera ett steg till med hjälp av konjugatregeln baklänges?

Student02 skrev:

Juste!! Okej, men om jag ska fortsätta som du gjorde blir det väl såhär: 

$({\left(x^4\right)}^2-1)$

Tror att jag har fastnat nu... Eller, jag kan ju göra såhär: $(x^4-1)(x^4+1)?$Fast det blir ju = $x^8-1$, ska man köra ${\left(\right(x^4)}^4-1?$

Bra. Du har gjort helt rätt.

Du började med $x^{16}-1$, som du faktoriserade till $(x^8-1)(x^8+1)$.

Den första faktorn $x^8-1$ delade du sedan upp i två, nämligen $(x^4-1)(x^4+1)$

Det betyder att $x^{16}-1=(x^4-1)(x^4+1)(x^8+1)$, eller hur?

-----------

Ser du någon faktor som du kan fortsätta att dela upp på samma sätt? 

Smaragdalena skrev:

Du VILL ju faktorisera x⁸-1, eller hur?! Så att det blir (x⁴+1)(x⁴-1) är ju perfekt! Vilken av faktorerna i (x⁴+1)(x⁴-1) kan du faktorisera ett steg till med hjälp av konjugatregeln baklänges?

Juste ja det är sant! Övertänkte nog svaret. Sedan kan jag ju faktorisera ${\left(\right(x^2)}^2-1) = (x^2-1\left)\right(x^2+1)$. Jag kan faktorisera detta ännu en gång såhär: $(x^2-1) =( x-1)(x+1) väl?$

Hur går jag tillväga nu?

Yngve skrev:

Student02 skrev:

Juste!! Okej, men om jag ska fortsätta som du gjorde blir det väl såhär: 

$({\left(x^4\right)}^2-1)$

Tror att jag har fastnat nu... Eller, jag kan ju göra såhär: $(x^4-1)(x^4+1)?$Fast det blir ju = $x^8-1$, ska man köra ${\left(\right(x^4)}^4-1?$

Bra. Du har gjort helt rätt.

Du började med $x^{16}-1$, som du faktoriserade till $(x^8-1)(x^8+1)$.

Den första faktorn $x^8-1$ delade du sedan upp i två, nämligen $(x^4-1)(x^4+1)$

Det betyder att $x^{16}-1=(x^4-1)(x^4+1)(x^8+1)$, eller hur?

-----------

Ser du någon faktor som du kan fortsätta att dela upp på samma sätt? 

Jag tror att jag kanske knäckte koden... Kan det vara $(x-1)(x+1)(x^2+1)(x^4+1)(x^8+1)?$

Märker att den positiva termen alltid följer med, beror det på att jag använde konjugatregeln på de negativa termerna tidigare? För mot slutet är både den (x-1) och (x+1) med och där använde jag ej konjugatregeln på (x-1).  

Student02 skrev:

Jag tror att jag kanske knäckte koden... Kan det vara $(x-1)(x+1)(x^2+1)(x^4+1)(x^8+1)?$

Märker att den positiva termen alltid följer med, beror det på att jag använde konjugatregeln på de negativa termerna tidigare? För mot slutet är både den (x-1) och (x+1) med och där använde jag ej konjugatregeln på (x-1).  

Bravo!

Nu återstår bara en enda sak, nämligen att kontrollera ditt resultat.

Det finns lite olika sätt att göra det.

Kan du komma på något/några?

Yngve skrev:

Student02 skrev:

Visa föregående citat

Yngve skrev:

Student02 skrev:

Juste!! Okej, men om jag ska fortsätta som du gjorde blir det väl såhär: 

$({\left(x^4\right)}^2-1)$

Tror att jag har fastnat nu... Eller, jag kan ju göra såhär: $(x^4-1)(x^4+1)?$Fast det blir ju = $x^8-1$, ska man köra ${\left(\right(x^4)}^4-1?$

Bra. Du har gjort helt rätt.

Du började med $x^{16}-1$, som du faktoriserade till $(x^8-1)(x^8+1)$.

Den första faktorn $x^8-1$ delade du sedan upp i två, nämligen $(x^4-1)(x^4+1)$

Det betyder att $x^{16}-1=(x^4-1)(x^4+1)(x^8+1)$, eller hur?

-----------

Ser du någon faktor som du kan fortsätta att dela upp på samma sätt? 

Jag tror att jag kanske knäckte koden... Kan det vara $(x-1)(x+1)(x^2+1)(x^4+1)(x^8+1)?$

Märker att den positiva termen alltid följer med, beror det på att jag använde konjugatregeln på de negativa termerna tidigare? För mot slutet är både den (x-1) och (x+1) med och där använde jag ej konjugatregeln på (x-1).  

Bravo!

Nu återstår bara en enda sak, nämligen att kontrollera ditt resultat.

Det finns lite olika sätt att göra det.

Kan du komma på något/några?

Jag tror det, kanske såhär?$$\begin{gathered} (x-1)(x+1)(x^2+1)(x^4+1)(x^8+1) \\ (x-1)(x+1) = (x^2-1) \\ (x^2-1)(x^2+1)= (x^4-1) \\ (x^4-1)(x^4+1)=(x^8-1) \\ (x^8-1)(x^8+1)=x^{16}-1 \end{gathered}$$

Student02 skrev:

Jag tror det, kanske såhär?$$\begin{gathered} (x-1)(x+1)(x^2+1)(x^4+1)(x^8+1) \\ (x-1)(x+1) = (x^2-1) \\ (x^2-1)(x^2+1)= (x^4-1) \\ (x^4-1)(x^4+1)=(x^8-1) \\ (x^8-1)(x^8+1)=x^{16}-1 \end{gathered}$$

Ja det funkar bra.

En annan metod kan vara att testa att de båda uttrycken får samma värde för några olika enkla värden på $x$, typ $x=0$ och $x=\pm1$. Dessa kan du enkelt räkna på papper. För $x=\pm2$ och större kan du behöva räknare. Det är inte ett helt säkert test, men kan ändå ge lite trygghet på ett enkelt sätt.

Yngve skrev:

Student02 skrev:

Jag tror det, kanske såhär?$$\begin{gathered} (x-1)(x+1)(x^2+1)(x^4+1)(x^8+1) \\ (x-1)(x+1) = (x^2-1) \\ (x^2-1)(x^2+1)= (x^4-1) \\ (x^4-1)(x^4+1)=(x^8-1) \\ (x^8-1)(x^8+1)=x^{16}-1 \end{gathered}$$

Ja det funkar bra.

En annan metod kan vara att testa att de båda uttrycken får samma värde för några olika enkla värden på $x$, typ $x=0$ och $x=\pm1$. Dessa kan du enkelt räkna på papper. För $x=\pm2$ och större kan du behöva räknare. Det är inte ett helt säkert test, men kan ändå ge lite trygghet på ett enkelt sätt.

Tack så mycket för all hjälp!!

"Så långt det går" kan vara ända till förstagradspolynom, om man tillåter komplexa tal i uttrycket.

Om man inte gör det så går reella polynom av högre grad än tre alltid att faktorisera till högst andragradsfaktorer, men det känns inte som om man lär sig det redan i Matte 3, för man tar komplexa tal till hjälp.

Jag kan berätta hur man gör, men faktoriseringen av $x^4+1$ är i alla fall $(x^2+\sqrt{2}x+1)(x^2-\sqrt{2}x+1)$. $x^8+1$ har jag inte gett mig på.