faktorisera
förenkla (x^3+4x^2+7x+6)/(x+2).
Har lite svårt att faktorisera täljaren. Får inte ihop det.
tacksam för hjälp!
lamayo skrev :förenkla (x^3+4x^2+7x+6)/(x+2).
Har lite svårt att faktorisera täljaren. Får inte ihop det.
tacksam för hjälp!
Om divisionen går jämnt ut så finns det ett polynom P(x) = ax^2 + bx + c som är sådant att P(x)*(x + 2) = x^3 + 4x^2 + 7x + 6.
Multiplicera ihop vänsterledet och jämför med högerledet: Det ska finnas lika många x^3-, x^2-, x- och konstant-termer i vänsterledet som i högerledet.
Det ger dig 4 ekvationer för att bestämma de 3 obekanta a, b och c.
Samma sak med andra ord: Om (x + 2) är en faktor i täljaren x^3 + 4x^2 + 7x + 6 så kan du bryta ut den faktorn och det som blir kvar är då ett polynom av grad 2. Det gäller då alltså att
x^3 + 4x^2 + 7x + 6 = (x + 2)(ax^2 + bx + c), där a, b och är konstanter.
Är detta verkligen en uppgift från Ma2? Det enklaste sättet jag kommer på att göra detta är genom polynomdivision och faktorsatsen och det ingår inte förrän i Ma4.
Om vi inte skall behöva gå igenom polynomdivision kan du konstatera att om du skall kunna göra något med denna måste du ha faktorn (x+2) i täljaren så att du kan dividera bort nämnaren. Då måste du kunna skriva täljaren som (x+2)(x^2+ax+b) (fast detta är nästan faktorsatsen) Om du multiplicerar ihop dessa två parenteser kommer du att kunna sätta faktorerna framför x^2, x och konstanttermen lika och på så sätt bestämma andragradspolynomet. Detta kan du sedan faktorisera på vanligt sätt.
AndersW skrev :Är detta verkligen en uppgift från Ma2? Det enklaste sättet jag kommer på att göra detta är genom polynomdivision och faktorsatsen och det ingår inte förrän i Ma4.
Om vi inte skall behöva gå igenom polynomdivision kan du konstatera att om du skall kunna göra något med denna måste du ha faktorn (x+2) i täljaren så att du kan dividera bort nämnaren. Då måste du kunna skriva täljaren som (x+2)(x^2+ax+b) (fast detta är nästan faktorsatsen) Om du multiplicerar ihop dessa två parenteser kommer du att kunna sätta faktorerna framför x^2, x och konstanttermen lika och på så sätt bestämma andragradspolynomet. Detta kan du sedan faktorisera på vanligt sätt.
okej ja fick x^4+6x^3+13x^2+20x+12
lamayo skrev :AndersW skrev :Är detta verkligen en uppgift från Ma2? Det enklaste sättet jag kommer på att göra detta är genom polynomdivision och faktorsatsen och det ingår inte förrän i Ma4.
Om vi inte skall behöva gå igenom polynomdivision kan du konstatera att om du skall kunna göra något med denna måste du ha faktorn (x+2) i täljaren så att du kan dividera bort nämnaren. Då måste du kunna skriva täljaren som (x+2)(x^2+ax+b) (fast detta är nästan faktorsatsen) Om du multiplicerar ihop dessa två parenteser kommer du att kunna sätta faktorerna framför x^2, x och konstanttermen lika och på så sätt bestämma andragradspolynomet. Detta kan du sedan faktorisera på vanligt sätt.
okej ja fick x^4+6x^3+13x^2+20x+12
Nej du ska multiplicera ihop (x + 2) med (x^2 + ax + b). Det ska ge dig ett tredjegradspolynom.
Visa hur du räknar så kan vi hjälpa dig att hitta felet.
Du kan jämföra det hela med division av reella tal:
Om A/B = C så gäller det att A = B*C. Du kan alltså beräkna A/B genom att hitta ett C som uppfyller A/B = C.
Exempel: Beräkna 18/9. Sätt 18/9 = C. Då gäller det att 18 = 9*C. Detta går jämnt ut om C = 2.
---------
På samma sätt kan du göra här:
I ditt fall så är A = (x^3 + 4x^2 + 7x + 6) och B = (x + 2).
Du ska alltså hitta ett C som är sådant att A = B*C, dvs du ska hitta ett C som är sådant att
(x^3 + 4x^2 + 7x + 6) = (x + 2)*C.
Sätt nu C = (x^2 + ax + b) och multiplicera ihop.
Jämför med vänsterledet.
Yngve skrev :lamayo skrev :AndersW skrev :Är detta verkligen en uppgift från Ma2? Det enklaste sättet jag kommer på att göra detta är genom polynomdivision och faktorsatsen och det ingår inte förrän i Ma4.
Om vi inte skall behöva gå igenom polynomdivision kan du konstatera att om du skall kunna göra något med denna måste du ha faktorn (x+2) i täljaren så att du kan dividera bort nämnaren. Då måste du kunna skriva täljaren som (x+2)(x^2+ax+b) (fast detta är nästan faktorsatsen) Om du multiplicerar ihop dessa två parenteser kommer du att kunna sätta faktorerna framför x^2, x och konstanttermen lika och på så sätt bestämma andragradspolynomet. Detta kan du sedan faktorisera på vanligt sätt.
okej ja fick x^4+6x^3+13x^2+20x+12
Nej du ska multiplicera ihop (x + 2) med (x^2 + ax + b). Det ska ge dig ett tredjegradspolynom.
Visa hur du räknar så kan vi hjälpa dig att hitta felet.
gjorde (x+2)(x^3+13x^2+47x+30)=x^4+13x^3+47x^2+30x+2x^3+26x^2+94x+60
lamayo skrev :gjorde (x+2)(x^3+13x^2+47x+30)=x^4+13x^3+47x^2+30x+2x^3+26x^2+94x+60
OK då förstår jag att det blir fel.
1. Varifrån kommer x^3+13x^2+47x+30 ?
2. Du ska multiplicera ihop (x + 2) med (x^2 + ax + b).
Var kom det tredjegradspolynom du multiplicerar (x+2) med?
Det jag menar (som också Yngve är inne på) är att (x+2)(x^2-ax+b) blir x^3 + (2+a)x^2 + (2a+b)x + 2b om detta skall vara lika med vårt ursprungliga polynom måste:
2+a=4
2a+b=7
2b=6
Vilket är ett överbestämt ekvationssystem men om du löser ut a och b och sätter in dem på rätt ställe har du ditt svar
Yngve skrev :lamayo skrev :gjorde (x+2)(x^3+13x^2+47x+30)=x^4+13x^3+47x^2+30x+2x^3+26x^2+94x+60
OK då förstår jag att det blir fel.
1. Varifrån kommer x^3+13x^2+47x+30 ?
2. Du ska multiplicera ihop (x + 2) med (x^2 + ax + b).
1. oj tog fel på tal.. 2. hur får jag ut a^2+ax+b? när det är olika
Har du inte läst det här inlägget:
AndersW skrev :Var kom det tredjegradspolynom du multiplicerar (x+2) med?
Det jag menar (som också Yngve är inne på) är att (x+2)(x^2-ax+b) blir x^3 + (2+a)x^2 + (2a+b)x + 2b om detta skall vara lika med vårt ursprungliga polynom måste:
2+a=4
2a+b=7
2b=6
Vilket är ett överbestämt ekvationssystem men om du löser ut a och b och sätter in dem på rätt ställe har du ditt svar
AndersW skrev :Var kom det tredjegradspolynom du multiplicerar (x+2) med?
Det jag menar (som också Yngve är inne på) är att (x+2)(x^2-ax+b) blir x^3 + (2+a)x^2 + (2a+b)x + 2b om detta skall vara lika med vårt ursprungliga polynom måste:
2+a=4
2a+b=7
2b=6
Vilket är ett överbestämt ekvationssystem men om du löser ut a och b och sätter in dem på rätt ställe har du ditt svar
förstår inte riktigt hur det blir 2+a=4 2a+b=7 2b=6? annars b=3 och a=2 och ska jag sedan sätta in det
Om du multiplicerar ihop parenteserna som jag gör i mitt tidigare inlägg så får du bland annat (2+a)x^2 eftersom detta måste vara lika med faktorn framför x^2 i det ursprungliga uttrycket dvs 4 om uttrycken skall vara lika får vi 2+a = 4. Sedan är de andra två ekvationerna samma sak men med faktorerna framför x och konstanttermerna.
Då du nu vet det så kan du skriva din täljare som (x+2)(x^2+2x+4) Nu borde du kunna förenkla ditt uttryck.
AndersW skrev :Om du multiplicerar ihop parenteserna som jag gör i mitt tidigare inlägg så får du bland annat (2+a)x^2 eftersom detta måste vara lika med faktorn framför x^2 i det ursprungliga uttrycket dvs 4 om uttrycken skall vara lika får vi 2+a = 4. Sedan är de andra två ekvationerna samma sak men med faktorerna framför x och konstanttermerna.
Då du nu vet det så kan du skriva din täljare som (x+2)(x^2+2x+4) Nu borde du kunna förenkla ditt uttryck.
x^3+2x^2+4x+2x^2+8=x^3+4x^2+4x+8? det jag inte riktigt fattar är varför man använder (x^2+ax+b)
lamayo skrev :x^3+2x^2+4x+2x^2+8=x^3+4x^2+4x+8?
Det stämmer inte. Vad är det du har räknat ut där?
Du skriver inte vad du har räknat ut och inte heller hur du har räknat ut det. Du skriver bara resultatet av dina uträkningar. Då är det omöjligt för oss att hjälpa dig att hitta dina feltänk/felräkningar.
det jag inte riktigt fattar är varför man använder (x^2+ax+b)
Är du med på att om man multiplicerar två polynom med varandra så får man ett nytt polynom?
-------
Är du med på att om båda polynomen är av grad 1 så blir produkten ett polynom av grad 2?
Exempel: Om de två förstagradspolynomen Q(x) = x + 2 och R(x) = x - 1 multipliceras ihop så blir produkten Q(x)*R(x) = (x + 2)(x - 1) = x^2 - x + 2x - 2 = x^2 + x - 2, dvs ett polynom av grad 2.
------------
Är du med på att om ena polynomet är av grad 1 och det andra av grad 2 så blir produkten ett polynom av grad 3?
Exempel: Om förstagradspolynomet Q(x) = x + 2 och andragradspolynomet R(x) = x^2 + x - 1 multipliceras ihop så blir produkten Q(x)*R(x) = (x + 2)(x^2 + x - 1) = x^3 + x^2 - x + 2x^2 + 2x - 2 = x^3 + 3x^2 + x - 2, dvs ett polynom av grad 3.
-------------
Man kan visa att detta gäller allmänt, dvs produkten av ett polynom med grad n och ett polynom av grad m blir ett polynom av grad (n + m), men detta ingår inte i gymnasiematematiken vad jag vet.
---------------
Åter till din uppgift:
Du vill hitta ett polynom P(x) som är sådant att (x^3+4x^2+7x+6)/(x+2) = P(x).
Det innebär att (x + 2)*P(x) = (x^3+4x^2+7x+6)
Eftersom produkten i högerledet är ett polynom av grad 3 och första faktorn i vänsterledet är ett polynom av grad 1 så måste P(x) vara ett polynom av grad 2 enligt ovanstående.
Vi vet alltså att P(x) ska vara ett polynom av grad 2, och vi ska ta reda på vilket polynom det är.
På samma sätt som vi brukar införa obekanta storheter för det vi eftersöker när vi löser ekvationer så kan vi nu införa de obekanta stirheterna a, b och c som koefficienter i polynomet P(x) så att P(x) = ax^2 + bx + c.
Om vi lyckas ta reda på vad a, b och c har för värden så har vi bestämt polynomet P(x) och därmed även vad divisionen (x^3+4x^2+7x+6)/(x+2) ger för resultat.
------------
Orsaken till att jag väljer P(x) = ax^2 + bx + c istället flr P(x) = x^2 + ax + b är att lösningsmetoden då blir mer generell och fungerar även om inte x^3-termen har en etta som koefficient.
Yngve skrev :lamayo skrev :x^3+2x^2+4x+2x^2+8=x^3+4x^2+4x+8?
Det stämmer inte. Vad är det du har räknat ut där?
Du skriver inte vad du har räknat ut och inte heller hur du har räknat ut det. Du skriver bara resultatet av dina uträkningar. Då är det omöjligt för oss att hjälpa dig att hitta dina feltänk/felräkningar.
det jag inte riktigt fattar är varför man använder (x^2+ax+b)
Är du med på att om man multiplicerar två polynom med varandra så får man ett nytt polynom?
-------
Är du med på att om båda polynomen är av grad 1 så blir produkten ett polynom av grad 2?
Exempel: Om de två förstagradspolynomen Q(x) = x + 2 och R(x) = x - 1 multipliceras ihop så blir produkten Q(x)*R(x) = (x + 2)(x - 1) = x^2 - x + 2x - 2 = x^2 + x - 2, dvs ett polynom av grad 2.
------------
Är du med på att om ena polynomet är av grad 1 och det andra av grad 2 så blir produkten ett polynom av grad 3?
Exempel: Om förstagradspolynomet Q(x) = x + 2 och andragradspolynomet R(x) = x^2 + x - 1 multipliceras ihop så blir produkten Q(x)*R(x) = (x + 2)(x^2 + x - 1) = x^3 + x^2 - x + 2x^2 + 2x - 2 = x^3 + 3x^2 + x - 2, dvs ett polynom av grad 3.
-------------
Man kan visa att detta gäller allmänt, dvs produkten av ett polynom med grad n och ett polynom av grad m blir ett polynom av grad (n + m), men detta ingår inte i gymnasiematematiken vad jag vet.
---------------
Åter till din uppgift:
Du vill hitta ett polynom P(x) som är sådant att (x^3+4x^2+7x+6)/(x+2) = P(x).
Det innebär att (x + 2)*P(x) = (x^3+4x^2+7x+6)
Eftersom produkten i högerledet är ett polynom av grad 3 och första faktorn i vänsterledet är ett polynom av grad 1 så måste P(x) vara ett polynom av grad 2 enligt ovanstående.
Vi vet alltså att P(x) ska vara ett polynom av grad 2, och vi ska ta reda på vilket polynom det är.
På samma sätt som vi brukar införa obekanta storheter för det vi eftersöker när vi löser ekvationer så kan vi nu införa de obekanta stirheterna a, b och c som koefficienter i polynomet P(x) så att P(x) = ax^2 + bx + c.
Om vi lyckas ta reda på vad a, b och c har för värden så har vi bestämt polynomet P(x) och därmed även vad divisionen (x^3+4x^2+7x+6)/(x+2) ger för resultat.
------------
Orsaken till att jag väljer P(x) = ax^2 + bx + c istället flr P(x) = x^2 + ax + b är att lösningsmetoden då blir mer generell och fungerar även om inte x^3-termen har en etta som koefficient.
1. eftersom a=2 och b=3 kunde jag väll sätta in värdena i (x+2)(x^2+2x+3)=x^3+2x^2+3x+2x^2+4x+6? 2. tack för förklaringen! men känns svårt det här är inte med till 100% på varför man gör som man gör., försöker förstå hur ni menar och kanske lossnar om jag tänker lite på det
lamayo skrev :1. eftersom a=2 och b=3 kunde jag väll sätta in värdena i (x+2)(x^2+2x+3)=x^3+2x^2+3x+2x^2+4x+6?
Ja. Produkten blir x^3 + 4x^2 + 7x + 6, vilket stämmer med ursprungsuttryckets täljare.
Men du skrev x^3+4x^2+4x+8.
2. tack för förklaringen!
Varsågod. Och var inte orolig om det känns nytt och lite obekant. Som tidigare sagts så ingår inte polynomdivision och faktorsatsen i Matte 2. Det kommer först i Matte 4.
