Faktorisera

Prova med t.ex. n = 1. Är 4¹ = 2²⁺¹?

Laguna skrev:

Prova med t.ex. n = 1. Är 4¹ = 2²⁺¹?

Okej, men varför blir det fel det jag gör?

För att de regler du försöker anvönda inte gäller.

Laguna skrev:

Prova med t.ex. n = 1. Är 4¹ = 2²⁺¹?

Kan man inte tänka att 2² = 4 och sen 1:an så 4¹ eller måste 2² stå i parantes för att det ska gälla? 

Regeln du kanske är ute efter är 4ⁿ = (2²)ⁿ = 2²ⁿ.

Nästa problem är 2ⁿ = 2(1ⁿ). Det stämmer inte heller. Prova n = 2.

Laguna skrev:

Regeln du kanske är ute efter är 4ⁿ = (2²)ⁿ = 2²ⁿ.

Nästa problem är 2ⁿ = 2(1ⁿ). Det stämmer inte heller. Prova n = 2.

Jag hänger inte med riktigt. Första meningen, menar du att man inte kan skriva det som (2)²⁺ⁿ utan att jag tänkt på regeln 2²ⁿ? 
nästa mening förstår jag inte alls, vart är vi nu? 

2^2n = (2^2)^n = 4^n = 2^n x 2^n = 2^n+n

Den gemensamma formen att factorisera är helt enkelt 2^n eftersom den finns i båda termer.

Försök att bryta isär 2^n-1 så har du något gemensamt

2^n/2^1 = ?

ChristopherH skrev:

2^2n = (2^2)^n = 4^n = 2^n x 2^n = 2^n+n

 

Den gemensamma formen att factorisera är helt enkelt 2^n eftersom den finns i båda termer.

 

Försök att bryta isär 2^n-1 så har du något gemensamt

 

2^n/2^1 = ?

Hur lyckades du komma fram till 4ⁿ = 2ⁿ * 2^n ?

när det står 2ⁿ * 2ⁿ ser jag att det blir 4ⁿ men när det blir större tal, hur ska man tänka då? 

Ha en fin dag skrev:

ChristopherH skrev:

2^2n = (2^2)^n = 4^n = 2^n x 2^n = 2^n+n

 

Den gemensamma formen att factorisera är helt enkelt 2^n eftersom den finns i båda termer.

 

Försök att bryta isär 2^n-1 så har du något gemensamt

 

2^n/2^1 = ?

Hur lyckades du komma fram till 4ⁿ = 2ⁿ * 2^n ?

när det står 2ⁿ * 2ⁿ ser jag att det blir 4ⁿ men när det blir större tal, hur ska man tänka då? 

Formelsamlingen säger ju att a^n * a^n = a^n+n och att det är =2^2n 

Vi lägger n=3

Testa det matematiskt som t.ex 4^3 = 64 och 2^3*2 = 64 och 2^3 * 2^3 = 64

ChristopherH skrev:

Ha en fin dag skrev:

Visa föregående citat

ChristopherH skrev:

2^2n = (2^2)^n = 4^n = 2^n x 2^n = 2^n+n

 

Den gemensamma formen att factorisera är helt enkelt 2^n eftersom den finns i båda termer.

 

Försök att bryta isär 2^n-1 så har du något gemensamt

 

2^n/2^1 = ?

Hur lyckades du komma fram till 4ⁿ = 2ⁿ * 2^n ?

när det står 2ⁿ * 2ⁿ ser jag att det blir 4ⁿ men när det blir större tal, hur ska man tänka då? 

Formelsamlingen säger ju att a^n * a^n = a^n+n och att det är =2^2n 

Vi lägger n=3

Testa det matematiskt som t.ex 4^3 = 64 och 2^3*2 = 64 och 2^3 * 2^3 = 64

 

 

tack!! Men fattar fortfarande inte helt hur man kommer fram till att 4^n = 2^n+n?

För potenser gäller följande lagar generellt (det finns undantag, inte för ditt fall.):

$a^x \cdot a^y = a^{x+y}$

$a^{xy} = (a^x)^y=(a^y)^x$

Nu kan vi faktorisera $4^n$:

$4^n=(2^2)^n=2^{2n}$

Du har alltså $2^{2n}+2^{n-1}=2^{n-1}(1+2^{n+1})$

Dracaena skrev:

För potenser gäller följande lagar generellt (det finns undantag, inte för ditt fall.):

$a^x \cdot a^y = a^{x+y}$

$a^{xy} = (a^x)^y=(a^y)^x$

Nu kan vi faktorisera $4^n$:

$4^n=(2^2)^n=2^{2n}$

Du har alltså $2^{2n}+2^{n-1}=2^{n-1}(1+2^{n+1})$

Fattar fram till sista raden. när jag räknar ihop 2^n-1 • 2ⁿ⁺¹ ser jag hur det blir 4ⁿ. Men hur kommer man på det åt andra hållet? 

Är din fråga hur $2^{n+1} \cdot 2^{n-1} = 4^n$?

Första lagen jag visade i mitt inlägg:

$2^{n-1+n+1}=2^{2n}=4^n$

Dracaena skrev:

Är din fråga hur $2^{n+1} \cdot 2^{n-1} = 4^n$?

Första lagen jag visade i mitt inlägg:

$2^{n-1+n+1}=2^{2n}=4^n$

Nej, jag vet hur det blir det. Men hur kommer man på att man ska skriva det så genom att titta på 4ⁿ?

Jag visade ju precis hur det blir $4^n$, vilket steg är det du inte hänger med på?

När det kommer till att faktorisera vill man skriva om termerna på ett sätt som gör att de har något gemensamt. Det går snabbt inse att 4 är en produkt av 2, så att man kan skriva allt i den gemensamma basen 2. Sedan är man i princip i mål.

Dracaena skrev:

Jag visade ju precis hur det blir $4^n$, vilket steg är det du inte hänger med på?

När det kommer till att faktorisera vill man skriva om termerna på ett sätt som gör att de har något gemensamt. Det går snabbt inse att 4 är en produkt av 2, så att man kan skriva allt i den gemensamma basen 2. Sedan är man i princip i mål.

Sista raden. Hur ser du att du ska faktorisera 2²ⁿ+ 2ⁿ⁻¹ till 2 ^1-n (1+2 ⁿ⁺¹)

Av samma anledning att jag har brytit ut $x$ i $x^2+x$ och inte något annat. :)

Ha en fin dag skrev:

Sista raden. Hur ser du att du ska faktorisera 2²ⁿ+ 2ⁿ⁻¹ till 2 ^1-n (1+2 ⁿ⁺¹)

Inte så lätt att se tycker jag också, men om vi gör så här:

$2^{2n}+2^{n-1}=2^n·2^n+\frac{2^n}{2}$

Vi gör gemensam nämnare och får då $\frac{2^n}{2}$i bägge termerna.

$\frac{2^n}{2}= 2^{n-1}$eller hur och kan då bryta ut det som Dracaena konstaterat.

Då har vi $2·2^n$kvar i ena termen som blir $2^{n+1}$i svaret.

Själv tycker jag att det hade varit snyggare att göra så här:

$4^n+2^{n-1}={(2·2)}^n+2^n·2^{-1}$

$=2^n(2^n+2^{-1})$

ConnyN skrev:

Ha en fin dag skrev:

Sista raden. Hur ser du att du ska faktorisera 2²ⁿ+ 2ⁿ⁻¹ till 2 ^1-n (1+2 ⁿ⁺¹)

Inte så lätt att se tycker jag också, men om vi gör så här:

$2^{2n}+2^{n-1}=2^n·2^n+\frac{2^n}{2}$

Vi gör gemensam nämnare och får då $\frac{2^n}{2}$i bägge termerna.

$\frac{2^n}{2}= 2^{n-1}$eller hur och kan då bryta ut det som Dracaena konstaterat.

Då har vi $2·2^n$kvar i ena termen som blir $2^{n+1}$i svaret.

Själv tycker jag att det hade varit snyggare att göra så här:

$4^n+2^{n-1}={(2·2)}^n+2^n·2^{-1}$

$=2^n(2^n+2^{-1})$

Vad är det vi bryter ut som har konstaterats?

Ha en fin dag skrev:

ConnyN skrev:

Visa föregående citat

Ha en fin dag skrev:

Sista raden. Hur ser du att du ska faktorisera 2²ⁿ+ 2ⁿ⁻¹ till 2 ^1-n (1+2 ⁿ⁺¹)

Inte så lätt att se tycker jag också, men om vi gör så här:

$2^{2n}+2^{n-1}=2^n·2^n+\frac{2^n}{2}$

Vi gör gemensam nämnare och får då $\frac{2^n}{2}$i bägge termerna.

$\frac{2^n}{2}= 2^{n-1}$eller hur och kan då bryta ut det som Dracaena konstaterat.

Då har vi $2·2^n$kvar i ena termen som blir $2^{n+1}$i svaret.

Själv tycker jag att det hade varit snyggare att göra så här:

$4^n+2^{n-1}={(2·2)}^n+2^n·2^{-1}$

$=2^n(2^n+2^{-1})$

Vad är det vi bryter ut som har konstaterats?

Från gemensamma termer t.ex 2^n.   Vi kommer ju ihåg att 2^n x 2^n är?? och vi har också konstaterat att 2^n/2 = 2^n-1. Därmed får vi 2^n(2^n) från 4^n och 2^n(2^-1) från 2^n/2 eller från 2^n-1. Det är därför vi får svaret 2^n(2^n + 2^-1)

Att kolla på formelblad medans man löser är ganska gynnsamt då att det sätter sig i huvudet framöver med övning. Även viktigt inför HP

Ha en fin dag skrev:

Vad är det vi bryter ut som har konstaterats?

Steg 1) $4^n+2^{n-1}={(2·2)}^n+2^n·2^{-1}$Vi skriver om sista termen.

Steg 2)  ${(2·2)}^n+\frac{2^n}{2^1}$ Nu gör vi gemensam nämnare.

Steg 3)  $\frac{2{(2·2)}^n}{2}+\frac{2^n}{2}$Vi skriver om första termen lite.

Steg 4)  $\frac{2·2^n·2^n}{2}+\frac{2^n}{2}$Nu kanske det blir mer synligt att vi kan bryta ut $\frac{2^n}{2}?$

Steg 5)  $\frac{2^n}{2}(2·2^n+1)$Att $\frac{2^n}{2}$kan skrivas $2^n·2^{-1}$är du väl med på?

Steg 6) $2^n·2^{-1}(2^{n+1}+1)$ Här använde vi att  $2·2^n=2^{n+1}$också.

Steg 7) $2^{n-1}(1+2^{n+1})$Bara lite omskrivning för att det ska likna facit.

Nu blev det också tydligt för mig att facits svar trots allt är bättre. De har brutit ut 

$\frac{2^n}{2}$jag bröt ut endast $2^n$

Man brukar vilja bryta ut största möjliga ur parentesen.

Är det något av stegen du inte är med på?

Man kanske kan substituera med x och sedan substituera tillbaka för att se

ConnyN skrev:

Ha en fin dag skrev:

Vad är det vi bryter ut som har konstaterats?

Steg 1) $4^n+2^{n-1}={(2·2)}^n+2^n·2^{-1}$Vi skriver om sista termen.

Steg 2)  ${(2·2)}^n+\frac{2^n}{2^1}$ Nu gör vi gemensam nämnare.

Steg 3)  $\frac{2{(2·2)}^n}{2}+\frac{2^n}{2}$Vi skriver om första termen lite.

Steg 4)  $\frac{2·2^n·2^n}{2}+\frac{2^n}{2}$Nu kanske det blir mer synligt att vi kan bryta ut $\frac{2^n}{2}?$

Steg 5)  $\frac{2^n}{2}(2·2^n+1)$Att $\frac{2^n}{2}$kan skrivas $2^n·2^{-1}$är du väl med på?

Steg 6) $2^n·2^{-1}(2^{n+1}+1)$ Här använde vi att  $2·2^n=2^{n+1}$också.

Steg 7) $2^{n-1}(1+2^{n+1})$Bara lite omskrivning för att det ska likna facit.

Nu blev det också tydligt för mig att facits svar trots allt är bättre. De har brutit ut 

$\frac{2^n}{2}$jag bröt ut endast $2^n$

Man brukar vilja bryta ut största möjliga ur parentesen.

Är det något av stegen du inte är med på?

Nu fattar jag. Tack!!