Faktorisera √2(√8x^32-√8)

Hej!

Som frågan lyder har jag fastnat på en uppgift där man ska faktorisera √2(√8x^32-√8) så låmgt det går.

Jag kommer fram till 4x^32-4 och undrar om ni tror att det är svaret eller om det går att förenkla ytterligare?

Tack för svar.

Tittade lite mer på det och kan 4(x^32-1) stämma?

Ditt svar är ingen produkt vilket man vill ha.
Men om du bryter ut 4 så har du en parentes (x^32-1) som du kan faktorisera med konjugatregeln.

Vad får du då?

Ledtråd: x^32 = x^16 gånger x^16

Ja. Det stämmer.

Det finns två reella förstagradsfaktorer och 15 reella andragradsfaktorer. Jag undrar alltid vid sådana här uppgifter om man förväntas hitta alla.

$\sqrt{2} \cdot (\sqrt{8 \cdot x^{32}} - \sqrt{8}) \sqrt{2} \cdot \sqrt{8 \cdot x^{32}} - \sqrt{2} \cdot \sqrt{8} \sqrt{16 \cdot x^{32}} - \sqrt{16} 4 \cdot x^{16} - 4 4 \cdot (x^{16} - 1) 4 \cdot (x^{8} + 1) \cdot (x^{8} - 1)$

TAck för svar men det är bara √8 * x^32 och inte √8x^32 under samma roten ur tecken. Bör min lösning där jag kommer fram till 4(x^32-1) stämma då?

Jo, men du kan faktorisera ytterligare om du använder konjugatregeln 'baklänges' på den sista termen - som jag skrev tidigare

Aha kommer då fram till 4(x^16-1)(x^16+1) stämmer det?

Det beror vad som menas med så långt som möjligt. (x^16-1) kan utvecklas osv.

larsolof skrev:
$\sqrt{2} \cdot (\sqrt{8} \cdot x^{32} - \sqrt{8}) f i c k v e t a a t t d e t v a r s å h ä r d e t b ö r j a r \sqrt{2} \cdot \sqrt{8} \cdot x^{32} - \sqrt{2} \cdot \sqrt{8} \sqrt{16} \cdot x^{32} - \sqrt{16} 4 \cdot x^{32} - 4 4 \cdot (x^{32} - 1) 4 \cdot (x^{16} + 1) \cdot (x^{16} - 1) 4 \cdot (x^{16} + 1) \cdot (x^{8} + 1) \cdot (x^{8} - 1) o s v ä n d a t i l l . . . . 4 \cdot (x^{16} + 1) \cdot (x^{8} + 1) \cdot (x^{4} + 1) \cdot (x^{2} + 1) \cdot (x + 1) \cdot (x - 1)$

fysiklover112233 skrev:
Aha kommer då fram till 4(x^16-1)(x^16+1) stämmer det?

Det stämmer, och jag tycker det är snyggaste svaret, fast nu stod det ju "faktorisera så långt det går"
så se mitt inlägg ovan i denna tråd.

larsolof skrev:
larsolof skrev:
$\sqrt{2} \cdot (\sqrt{8} \cdot x^{32} - \sqrt{8}) f i c k v e t a a t t d e t v a r s å h ä r d e t b ö r j a r \sqrt{2} \cdot \sqrt{8} \cdot x^{32} - \sqrt{2} \cdot \sqrt{8} \sqrt{16} \cdot x^{32} - \sqrt{16} 4 \cdot x^{32} - 4 4 \cdot (x^{32} - 1) 4 \cdot (x^{16} + 1) \cdot (x^{16} - 1) 4 \cdot (x^{16} + 1) \cdot (x^{8} + 1) \cdot (x^{8} - 1) o s v ä n d a t i l l . . . . 4 \cdot (x^{16} + 1) \cdot (x^{8} + 1) \cdot (x^{4} + 1) \cdot (x^{2} + 1) \cdot (x + 1) \cdot (x - 1)$

Fortsätt.

Laguna skrev:
larsolof skrev:
larsolof skrev:
$\sqrt{2} \cdot (\sqrt{8} \cdot x^{32} - \sqrt{8}) f i c k v e t a a t t d e t v a r s å h ä r d e t b ö r j a r \sqrt{2} \cdot \sqrt{8} \cdot x^{32} - \sqrt{2} \cdot \sqrt{8} \sqrt{16} \cdot x^{32} - \sqrt{16} 4 \cdot x^{32} - 4 4 \cdot (x^{32} - 1) 4 \cdot (x^{16} + 1) \cdot (x^{16} - 1) 4 \cdot (x^{16} + 1) \cdot (x^{8} + 1) \cdot (x^{8} - 1) o s v ä n d a t i l l . . . . 4 \cdot (x^{16} + 1) \cdot (x^{8} + 1) \cdot (x^{4} + 1) \cdot (x^{2} + 1) \cdot (x + 1) \cdot (x - 1)$
Fortsätt.

Hur?

Borttaget eftersom ej relevant

larsolof skrev:
Laguna skrev:
larsolof skrev:
larsolof skrev:
$\sqrt{2} \cdot (\sqrt{8} \cdot x^{32} - \sqrt{8}) f i c k v e t a a t t d e t v a r s å h ä r d e t b ö r j a r \sqrt{2} \cdot \sqrt{8} \cdot x^{32} - \sqrt{2} \cdot \sqrt{8} \sqrt{16} \cdot x^{32} - \sqrt{16} 4 \cdot x^{32} - 4 4 \cdot (x^{32} - 1) 4 \cdot (x^{16} + 1) \cdot (x^{16} - 1) 4 \cdot (x^{16} + 1) \cdot (x^{8} + 1) \cdot (x^{8} - 1) o s v ä n d a t i l l . . . . 4 \cdot (x^{16} + 1) \cdot (x^{8} + 1) \cdot (x^{4} + 1) \cdot (x^{2} + 1) \cdot (x + 1) \cdot (x - 1)$
Fortsätt.
Hur?

Som jag skrev högre upp så finns det 15 andragradsfaktorer. Det är för att ett reellt polynom alltid kan faktoriseras i enbart första- och andragradspolynom.

Jag förstår inte vad Laguna menar. Kan du visa hur du menar att man skulle kunna fortsätta faktorisera.

Laguna har rätt, men det ligger (enligt min bedömning) över Ma3-nivå. På Ma3-nivå går det inte att faktorisera x¹⁶+1=0

Ber Laguna eller Smaragdalena visa hur man faktoriserar $x^{16} + 1 = 0$

Om man introducerar i^2=-1. T ex (x^16+1)= (x^8+i)(x^8-i).

rapidos skrev:
Om man introducerar i^2=-1. T ex (x^16+1)= (x^8+i)(x^8-i).

Nej, då får du komplexa koefficienter.

Rita in alla rötter i komplexa enhetscirkeln. Två är reella, men de övriga uppträder parvis, som a+bi och a-bi. Multiplicera ihop faktorerna (x-a-bi) och (x-a+bi). Det blir x²-2ax+a²+b² = x²-2ax+1.

Prova med rötterna till x⁸ = 1.

Svara

Visa senaste svar