f(x) roterar kring y-axeln

Hej, frågan lyder;

Enligt rörformeln är tydligen volymen av f(x) då den roteras runt y-axeln $\int^b_a 2\pi x f(x)dx$ och eftersom $e^x$ är inversen skriver jag det istället som $\int^1_0 2\pi x e^x dx$ och detta ger 6.28 ish, känns som en magisk formeln så på något sätt låter det rimligt men det känns ändå att jag fuskar eftersom x>0 och jag stoppar fortfarande in 0 men e^x är ju inte odef för x = 0. Anledning till att jag bytte ut f(x) till inversen, alltså $f(x)^{-1}$ är tydligen för att man ska göra det.

Men va? Strunta i inversen och kör på med rörformeln.

Nej, man ska inte göra det. [Edit: man ska inte invertera.]

Om du använder den andra metoden, skivmetoden, så behöver du veta radien x på skivorna som funktion av y, för man integrerar över y. Men rörmetoden integrerar över x, så du behöver y som funktion av x. Rita så blir det tydligare.

Något saknas i uppgiften: för att få en volym måste man ha en begränsning till. Förmodligen menar de det maximala y-värdet, dvs y = 0.

Tror du blandar ihop 2 olika metoder, du måste välja en av dem. Och använd aldrig formler du inte kan rita upp och härleda på det här området, det kommer bara bli jättefel.

Jaha.. nu känner jag mig dum haha. Jag blandade båda i en och det blir ju väldigt fel. körde på med rörformeln och fick:
-pi/2 och arean kan inte vara negativ så det blir pi/2 eftersom jag räkinar arean under x-axeln så jag borde tillägga ett minus i uttrycket eller tar absolutbeloppet. Kör jag på alternativ metoden du visade så blir det pi/2 också. Jag känner igen de båda metoderna nu när du ritade dem vilket jag själv också borde ha gjort som Laguna tipsade om och då hade jag nog inte fallit för samma misstag som jag gjorde ovan.
Arean av kroppen måste då beskrivas med följande formel: $A= 2 \pi \int^b_a x \sqrt{1+(f'(x))^2} dx$ om jag använder mig av f(x) dvs, jag vet att det finns en för inversen också men den har jag inte i huvudet.

Ser ut att stämma. Testa ta fram en formel för inversen också från bilden som övning. 🙂

Om x = g(y) så ges formeln att vara $A= 2 \pi \int^d_c g(y) \sqrt{1+(g'(x))^2} dx$ vilket jag slog i Mathematica för jag är lat och det blir samma area, coolt! :D. Jag borde notera att c och d här är f(a) och f(b).

Tack för hjälpen som vanligt! :)

Svara

Visa senaste svar