f(x)=ln(x), x>0
Hej!
Jag behöver hjälp med uppgift 3441. Hur ska man tänka här för att kunna lösa den?
Detta är hur jag har försökt att lösa den, men tyvärr kommer jag inte längre. Hur ska man gå till väga?
Fundera på när ln(x) = 0.
ln(x)=0 när x=1. Varför ska jag fundera på när ln(x)=0?
Fundera istället på för vilket värde på a som ln(a)=0.
ln(a)=0 när a =1. Varför måste jag tänka på det sättet? Är det så att arean under grafen ska vara större än noll, och därför ska det minsta värde för a vara noll?
Om du vill att arean under funktionen skall vara lika med ln(x), så skall den vara lika med ln(x)-0, d v s ln(x)-ln(1).
Okej, så om jag uppfattat det rätt ska arean under grafen kunna uttryckas som just ln(x) som ju är en primitiv funktion av 1/x. Den övre gränsen är x, och den undre gränsen är a. För att arean under grafen ska kunna vara just ln(x), dvs ln(x)-ln(a), så måste ln(a) vara noll och därför är a=1. Stämmer det?
Skulle du också kunna förklara varför derivatan av ln(x) uttrycks med 1/t? Är det för att två andra variabler är x och a?
Partykoalan skrev:Okej, så om jag uppfattat det rätt ska arean under grafen kunna uttryckas som just ln(x) som ju är en primitiv funktion av 1/x. Den övre gränsen är x, och den undre gränsen är a. För att arean under grafen ska kunna vara just ln(x), dvs ln(x)-ln(a), så måste ln(a) vara noll och därför är a=1. Stämmer det?
Ja. Man kan ju skriva arean under kurvan f(x) som F(b)-F(a), där F(x) är en primitiv funktion till f(x) och a och b är integrationsgränserna. I det här fallet blir det ln(x)-ln(a), och om man vill att detta skall vara lika med ln(x) krävs det att ln(a)=0, d v s a = 1.
Skulle du också kunna förklara varför derivatan av ln(x) uttrycks med 1/t? Är det för att två andra variabler är x och a?
Det är bara någon som har råkat anvnda en annan variabel, det spelar ingen roll. Man bör skriva att derivatan av ln(x) är 1/x och att derivatan av ln(t) är 1/t.
Okej, nu hänger jag med.
Tack för hjälpen!
Ifall du undrade varför man har t inne i integralen så är det för att man inte ska blanda ihop integrationsvariabeln (om det heter så) med x som är en av gränserna.
Det tänkte jag också på. Vi har ju x som är den övre integrationsgränsen, och a som är den undre integrationsgränsen. Det skulle se förvirrande ut om man satte in den övre integrationsgränsen x i en primitiv funktion som redan innehåller denna variabel, eller hur. Därför är det smidigare att byta ut denna variabel mot variabel t i detta fall. Stämmer det?
Partykoalan skrev:Det tänkte jag också på. Vi har ju x som är den övre integrationsgränsen, och a som är den undre integrationsgränsen. Det skulle se förvirrande ut om man satte in den övre integrationsgränsen x i en primitiv funktion som redan innehåller denna variabel, eller hur. Därför är det smidigare att byta ut denna variabel mot variabel t i detta fall. Stämmer det?
Just det. Ibland gör man så ändå, men det kan bli förvirrande.
Precis. Annars hade den primitiva funktionen varit ln(x^2) istället för ln(x) om variabeln hade varit x istället för t. Eller hur?
