F', F, f

I det här sammanhanget bör du vara noga med att skilja på versal F och gemen f.

Om f(x).t ex. anger antalet personer vid tidpunkten x så anger f'(x) förändringen av antalet personer per tidsenhet vid tidpunkten x, dvs hastigheten med vilken antalet personer ändras vid tidpunkt x.

f''(x) betyder då förändringen per tidsenhet av förändringen av antalet personer, dvs accelerationen med vilken antalet personer ändras.

Yngve skrev:

I det här sammanhanget bör du vara noga med att skilja på versal F och gemen f.

Om f(x).t ex. anger antalet personer vid tidpunkten x så anger f'(x) förändringen av antalet personer per tidsenhet vid tidpunkten x, dvs hastigheten med vilken antalet personer ändras vid tidpunkt x.

f''(x) betyder då förändringen per tidsenhet av förändringen av antalet personer, dvs accelerationen med vilken antalet personer ändras.

Jaha ok! Tack!

Men då antar jag att jag fick fel med mitt resonemang på F(x) och F'(x)? Vad kan dem betyda?

Den primitiva funktionen (antiderivatan) till $f(x)$ brukar skrivas $F(x)$. Om vi låter detta samband gälla sä gäller även:

• Att $F'(x) = f(x)$
• Att $\int_{a}^{b}f(x)\operatorname dx=F(b)-F(a)$

Har du några exempel som du undrar över?

Yngve skrev:

Den primitiva funktionen (antiderivatan) till $f(x)$ brukar skrivas $F(x)$. Om vi låter detta samband gälla sä gäller även:

• Att $F'(x) = f(x)$
• Att $\int_{a}^{b}f(x)\operatorname dx=F(b)-F(a)$

Har du några exempel som du undrar över?

T.ex om vi fortsätter prata om population t.ex. Så visste vi ju att andraderivatan var accelerationen, första derivatan hastigheten och f(x) = populationen vid tiden x. Men vad är antiderivatan F(x) och andraantiderivatan F'(x).

Det som jag också är osäker om är vad om vi har en funktion som är en femtegradsfunktion och skall derivera den till en andraderivata. Då får vi just en tredjegradsfunktion. Kan en tredjegradsfunktion som inte är proportionell verkligen vara accelerationen?

ChristopherH skrev:

T.ex om vi fortsätter prata om population t.ex. Så visste vi ju att andraderivatan var accelerationen, första derivatan hastigheten och f(x) = populationen vid tiden x. Men vad är antiderivatan F(x)

Om populationen vid tidpunkten a är f(a) och populationen vid tidpunkten b är f(b) så är F(b) - F(a) ett mått på storheten "antal individer multiplicerat med tiden mellan a och b".

Om populationen består av människor och tiden anges i år så får denna storhet enheten manår.

och andraantiderivatan F'(x).

Det gäller att F'(x) = f(x), så F'(x) anger då populationen vid tidpunkten x.

Det som jag också är osäker om är vad om vi har en funktion som är en femtegradsfunktion och skall derivera den till en andraderivata. Då får vi just en tredjegradsfunktion. Kan en tredjegradsfunktion som inte är proportionell verkligen vara accelerationen?

Javisst. Accelerationen kan ju variera över tid och vara både positiv och negativ.

Tack! 

Förresten med F'(x) menar jag att man tar primitiv funktion av f(x) två gånger. Då man tar primitiv funktion av F(x). Är det ens en sak?

Nej, du får hitta en annan notation för det. Apostrofen ("prim") betyder derivata.

ChristopherH skrev:

Förresten med F'(x) menar jag att man tar primitiv funktion av f(x) två gånger. Då man tar primitiv funktion av F(x). Är det ens en sak?

Ja, det är en sak, men det finns ingen beteckning för det.

Du kan istället t.ex. skriva 

• G'(x) = F(x)
• F'(x) = f(x)

Då är G(x) en primitiv funktion till den primitiva funktionen till f(x).

Yngve skrev:

ChristopherH skrev:

Förresten med F'(x) menar jag att man tar primitiv funktion av f(x) två gånger. Då man tar primitiv funktion av F(x). Är det ens en sak?

Ja, det är en sak, men det finns ingen beteckning för det.

Du kan istället t.ex. skriva 

• G'(x) = F(x)
• F'(x) = f(x)

Då är G(x) en primitiv funktion till den primitiva funktionen till f(x).

eller en primitiv funktion till en primitiv funktion till f(x). Att operationen inte är entydig gör den litet svårhanterlig, tycker jag.

Laguna skrev:

eller en primitiv funktion till en primitiv funktion till f(x). 

Tack, det var så jag menade.