Extremvärdesproblem
Hej! Jag är osäker på lösningen för denna uppgift:
Min metod generellt sett för att lösa extremvärdesproblem har varit att identifiera intervallet där en funktion gäller. Sedan beräknar jag funktionsvärdet i ändpunkterna för det intervallet. Jag identifierar också maximi-/minimipunkt och beräknar funktionsvärdet där. I slutet jämför jag alla funktionsvärden och väljer ut högsta/lägsta extremvärde beroende på vad uppgiften efterfrågar.
När det gäller rätblocket vet jag att 4x + l = 200 → l = 200 - 4x. A blir därför x^2(200 - 4x). Sedan tar jag reda på extrempunkterna för funktionen A (derivatans nollställen). Då får man maximipunkten till ca 74000 cm^3.
Än så länge har jag bara hittat maximipunkten. Jag har inte kontrollerat ändpunkterna för intervallet. Men facit väljer ändå att strunta i att kolla ändpunkterna. Facit anger bara maximipunkten och konstaterar att "därför kommer värdet i den punkten vara areans största värde". Hur kan det vara rätt?
När jag löste uppgiften själv så tog jag hänsyn till att x är mindre eller lika med 70 cm. Samtidigt gäller att längden l = 200 - 4x är mindre eller lika med 150 cm. Med hjälp av denna information formulerade jag sedan ett intervall där funktionen A(x) gäller.
Har jag eller facit fel? Förlåt för att det blev så långt.
Jag tror att Facit har rätt (att strunta i ändpunkterna). Derivatans rötter är 0 och 33,3.
0 är ändpunkt och minimum och inte intressant för oss, och 33,3 är maximum. Så vid ändpunkterna kan vi inte förvänta oss ett högre värde. Eller har jag fel?
Så här tänker jag
I den här uppgiften får man samma svar även om man bortser från ändpunkterna. Men det kan man ju inte veta före man har ens testat ändpunkterna. Det finns inget som garanterar att maximi-/minimipunkter faktiskt kommer ha högre/lägre värde än ändpunkterna. För att ha en korrekt lösningsmetod anser jag därför att man måste kontrollera ändpunkterna.
Ja, bägge är mindre än 74000, och det är vad jag förväntade mig pga derivatan.
Macilaci skrev:Ja, bägge är mindre än 74000, och det är vad jag förväntade mig pga derivatan.
Ja, nu råkade det bli så att bägge är mindre än 74000. Men det var inte garanterat från början. Så håller du inte med om att facit borde ha testat ändpunkterna?
Kan tillägga att detta kommer från ett gammalt nationellt prov, så det är säkert så att skaparna av provet har rätt medan jag har fel. Men i så fall hade jag önskat att någon förklarar för mig varför jag tänker fel.
Jag visste inte heller från början, men när jag tittade på funktionen (och derivatan):
det blev tydligt att för alla x>0 är 33,3 absolut maximum. Vad än ändpunkterna är.
