Extremvärdenas karaktär (Matematik/Matte 3)

B) vill veta om det är minimi/maximi - punkter eller något annat när $a$ varierar.

Dracaena skrev:
B) vill veta om det är minimi/maximi - punkter eller något annat när $a$ varierar.

kan jag få mera hjälp med hur jag ska börja?

Funktionen $f(x)$ har stationära punkter då $f'(x)=0$ , dvs då $x=\pm1$ .

En stationär punkt kan antingen vara en minimi-, maximi- eller terrasspunkt.

När de skriver "Bestäm extremvärdenas karaktär" så vill de att du för var och en av de två stationära punkterna ska avgöra vilken av ovanstårnde tre typer de är.

För att göra det kan du använda andraderivatans värde i punkten och/eller en teckenstudie över förstaderivatans värde kring de båda stationära punkterna.

Känner du igen något av detta eller är det helt nytt för dig?

Yngve skrev:
Funktionen $f(x)$ har stationära punkter då $f'(x)=0$ , dvs då $x=\pm1$ .

En stationär punkt kan antingen vara en minimi-, maximi- eller terrasspunkt.

När de skriver "Bestäm extremvärdenas karaktär" så vill de att du för var och en av de två stationära punkterna ska avgöra vilken av ovanstårnde tre typer de är.

För att göra det kan du använda andraderivatans värde i punkten och/eller en teckenstudie över förstaderivatans värde kring de båda stationära punkterna.

Känner du igen något av detta eller är det helt nytt för dig?

Hade inte information om begreppet stationär punkt innan. Men nu vet jag vad det är.

När du skriver

'' När de skriver "Bestäm extremvärdenas karaktär" så vill de att du för var och en av de två stationära punkterna ska avgöra vilken av ovanstårnde tre typer de är. '' Undrar jag hur du visste att det skulle finnas två stationära punkter? Visste du det eftersom vi har fått fram två x-värden där f'(x)=0, alltså därav att vi vet att det finns två stationära punkter (men vi vet inte vilken slags dom är än).

Jag har en till fråga, räknas extrempunkt bara som minimi eller maximipunkt, och en terrasspunkt räknas inte som en extrempunkt?

Har inte lärt mig om andraderivata än, eller teckenstudie än. Har bara lärt mig om teckenschema, men det kanske är exakt samma sak som teckenstudie? Om dom är samma, vet jag fortfarande inte hur jag ska lösa uppgiften.

jordgubbe skrev:
När du skriver

'' När de skriver "Bestäm extremvärdenas karaktär" så vill de att du för var och en av de två stationära punkterna ska avgöra vilken av ovanstårnde tre typer de är. '' Undrar jag hur du visste att det skulle finnas två stationära punkter? Visste du det eftersom vi har fått fram två x-värden där f'(x)=0, alltså därav att vi vet att det finns två stationära punkter (men vi vet inte vilken slags dom är än).

Ja, det stämmer

Jag har en till fråga, räknas extrempunkt bara som minimi eller maximipunkt, och en terrasspunkt räknas inte som en extrempunkt?

Lokal(a) extrempunkt(er) är den (de) punkt(er) där värdet är mer extremt än alla andra värden i en nära omgivning, dvs där värdet är minst eller störst.

Därför är terrasspunkter inte extrempunkter.

Exempel:

Funktionen f(x) = x² har en lokal extrempunkt i origo. Extrempunkten är av typen minimipunkt.

Funktionen f(x) = x³-3x² har två lokala extrempunkter, en lokal maximipunkt vid x = 0 och en lokal minimipunkt vid x = 2.

Sedan finns det även globala extrempunkter.

Dessa är sådana att värdet är mest extremt (dvs minst eller störst) av alla punkter I hela definitionsmängden.

Exempel:

Funktionen f(x) = x² har en global extrempunkt i origo. Extrempunkten är av typen minimipunkt.

Funktionen f(x) = x³-3x² saknar globala extrempunkter. Oavsett vilket värde du väljer på funktionen så finns det alltid ett annat värde som är mindre än det valda och ett annat värde som är större än det valda..

I intervallet -1 $\leq$ x $\leq$ 1 så har funktionen f(x) = x³ två globala extrempunkter: En global minimipunkt vid x = -1 och en global maximipunkt vid x = 1.

Har inte lärt mig om andraderivata än, eller teckenstudie än. Har bara lärt mig om teckenschema, men det kanske är exakt samma sak som teckenstudie? Om dom är samma, vet jag fortfarande inte hur jag ska lösa upuppgiften.

Ja, det är samma sak.

Gör så här:

Rita en tallinje som innehåller värdena -2, -1, 0, 1 och 2.

På en rad under denna tallinje, skriv förstaderivatans tecken (dvs plustecken, minustecken eller talet 0) vid de olika heltalen.

Ledtråd: Du vet att f'(-1) = 0 och att f'(1) = 0.

Ange på en rad under den ovanstående raden hur grafen till y = f(x) lutar i de olika intervallen:

Pil snett upp till höger där f'(x) är positiv, pil snett neråt där f'(x) är negativ och en horisontell pil där f'(x) = 0.

Visa din tabell.

Yngve skrev:
jordgubbe skrev:
När du skriver

'' När de skriver "Bestäm extremvärdenas karaktär" så vill de att du för var och en av de två stationära punkterna ska avgöra vilken av ovanstårnde tre typer de är. '' Undrar jag hur du visste att det skulle finnas två stationära punkter? Visste du det eftersom vi har fått fram två x-värden där f'(x)=0, alltså därav att vi vet att det finns två stationära punkter (men vi vet inte vilken slags dom är än).

Ja, det stämmer

Jag har en till fråga, räknas extrempunkt bara som minimi eller maximipunkt, och en terrasspunkt räknas inte som en extrempunkt?

Lokal(a) extrempunkt(er) är den (de) punkt(er) där värdet är mer extremt än alla andra värden i en nära omgivning, dvs där värdet är minst eller störst.

Därför är terrasspunkter inte extrempunkter.

Exempel:

Funktionen f(x) = x² har en lokal extrempunkt i origo. Extrempunkten är av typen minimipunkt.

Funktionen f(x) = x³-3x² har två lokala extrempunkter, en lokal maximipunkt vid x = 0 och en lokal minimipunkt vid x = 2.

Sedan finns det även globala extrempunkter.

Dessa är sådana att värdet är mest extremt (dvs minst eller störst) av alla punkter I hela definitionsmängden.

Exempel:

Funktionen f(x) = x² har en global extrempunkt i origo. Extrempunkten är av typen minimipunkt.

Funktionen f(x) = x³-3x² saknar globala extrempunkter. Oavsett vilket värde du väljer på funktionen så finns det alltid ett annat värde som är mindre än det valda och ett annat värde som är större än det valda..

I intervallet -1 $\leq$ x $\leq$ 1 så har funktionen f(x) = x³ två globala extrempunkter: En global minimipunkt vid x = -1 och en global maximipunkt vid x = 1.

Har inte lärt mig om andraderivata än, eller teckenstudie än. Har bara lärt mig om teckenschema, men det kanske är exakt samma sak som teckenstudie? Om dom är samma, vet jag fortfarande inte hur jag ska lösa upuppgiften.

Ja, det är samma sak.

Gör så här:

Rita en tallinje som innehåller värdena -2, -1, 0, 1 och 2.

På en rad under denna tallinje, skriv förstaderivatans tecken (dvs plustecken, minustecken eller talet 0) vid de olika heltalen.

Ledtråd: Du vet att f'(-1) = 0 och att f'(1) = 0.

Ange på en rad under den ovanstående raden hur grafen till y = f(x) lutar i de olika intervallen:

Pil snett upp till höger där f'(x) är positiv, pil snett neråt där f'(x) är negativ och en horisontell pil där f'(x) = 0.

Visa din tabell.

På steg 2, när du skriver : På en rad under denna tallinje, skriv förstaderivatans tecken (dvs plustecken, minustecken eller talet 0) vid de olika heltalen.

Ska jag då använda f'(x)=a - (a/x^2)

sen om jag ska ta reda på förstaderivatans tecken för -2: f'(-2)=a-(a/(-2)^2)) = 3a/4. Då ska man skriva ett +?

första derivatans tecken för 0: Jag kan inte skriva 0 in i nämnaren på f'(x)=a - (a/x^2), så då kommer jag att sakna ett tecken där?

och första derivatans tecken för 2: f'(2)=a-(a/(2)^2) = 3a/4. Då ska man skriva ett +?

Kan man bara anta att 3a/4 är positivt, (tänk om a=ett negativt tal) ska då inte man istället skriva ett minustecken för förstaderivatans tecken ?

jordgubbe skrev:

På steg 2, när du skriver : På en rad under denna tallinje, skriv förstaderivatans tecken (dvs plustecken, minustecken eller talet 0) vid de olika heltalen.

Ska jag då använda f'(x)=a - (a/x^2)

Ja, det stämmer

sen om jag ska ta reda på förstaderivatans tecken för -2: f'(-2)=a-(a/(-2)^2)) = 3a/4. Då ska man skriva ett +?

Det beror på vad a har för värde. Du får tre fall:

a > 0. Då är f'(-2) > 0, dvs ett plustecken
a = 0. Då är f'(-2) = 0, dvs en nolla
a < 0. Då är f'(-2) < 0, dvs ett minustecken

första derivatans tecken för 0: Jag kan inte skriva 0 in i nämnaren på f'(x)=a - (a/x^2), så då kommer jag att sakna ett tecken där?

Bra fångat, jag tänkte inte färdigt där.

Du får skriva "odefinierad" vid x = 0.

Välj istället punkterna x = -1/2 och x = 1/2 för att ta fram tecken på f'(x).

och första derivatans tecken för 2: f'(2)=a-(a/(2)^2) = 3a/4. Då ska man skriva ett +?

Se kommentar ovan, det blir tre fall även här.

Yngve skrev:
jordgubbe skrev:

På steg 2, när du skriver : På en rad under denna tallinje, skriv förstaderivatans tecken (dvs plustecken, minustecken eller talet 0) vid de olika heltalen.

Ska jag då använda f'(x)=a - (a/x^2)

Ja, det stämmer

sen om jag ska ta reda på förstaderivatans tecken för -2: f'(-2)=a-(a/(-2)^2)) = 3a/4. Då ska man skriva ett +?

Det beror på vad a har för värde. Du får tre fall:

a > 0. Då är f'(-2) > 0, dvs ett plustecken

a = 0. Då är f'(-2) = 0, dvs en nolla

a < 0. Då är f'(-2) < 0, dvs ett minustecken

första derivatans tecken för 0: Jag kan inte skriva 0 in i nämnaren på f'(x)=a - (a/x^2), så då kommer jag att sakna ett tecken där?

Bra fångat, jag tänkte inte färdigt där.

Du får skriva "odefinierad" vid x = 0.

Välj istället punkterna x = -1/2 och x = 1/2 för att ta fram tecken på f'(x).

och första derivatans tecken för 2: f'(2)=a-(a/(2)^2) = 3a/4. Då ska man skriva ett +?

Se kommentar ovan, det blir tre fall även här.

Jag valde att göra 3 tabeller , är det rätt?

jordgubbe skrev:
Jag valde att göra 3 tabeller , är det rätt?

Tre rebeller är bra, men jag saknar lite pilar (blåa i bilden) och att det ska stå "odefinierat" på alla rader under x = 0 (markerat med röda kryss i bilden).

Tillägg: 30 jun 2023 06:55

Även om tabellerna var lite rebelliska så ska det stå tabeller, inte rebeller 😀

Yngve skrev:
jordgubbe skrev:
Jag valde att göra 3 tabeller , är det rätt?

Tre rebeller är bra, men jag saknar lite pilar (blåa i bilden) och att det ska stå "odefinierat" på alla rader under x = 0 (markerat med röda kryss i bilden).

Tillägg: 30 jun 2023 06:55

Även om tabellerna var lite rebelliska så ska det stå tabeller, inte rebeller 😀

TACK för alla hjälp!!!! Ritade om tabellerna och la till också funktionsvärdena för derivatans nollställen :)

Vad bra.

Hjälpte det dig att komma fram till något svar på fråga b?

Yngve skrev:
Vad bra.

Hjälpte det dig att komma fram till något svar på fråga b?

Ja, teckenstudien gav mig informationen att när a>0 får man en maximipunkt i (-1,-2a) och minimipunkt i (1,2a). Och när a<0 minimipunkt i (-1, -2a) och maximipunkt i (1,2a).

När a=0 får jag inga extrempunkter, linjen är horisontell och är y=0.

Ja, det stämmer (om du skriver ordet lokal innan orden maximipunkt och minimipunkt).

Yngve skrev:
Ja, det stämmer (om du skriver ordet lokal innan orden maximipunkt och minimipunkt).

Jaha, så om man bara skriver maximipunkt eller minimipunkt så är det fel? Man måste alltså tilläga lokal innan? varför behöver man göra det? Vad är det för skillnad mellan att bara skriva minimipunkt eller maximipunkt och lokal maximipunkt , lokal minimipunkt. Behöver man tilläga lokal, eftersom det finns flera extrempunkter för funktionen?? alltså, om det bara är en extrempunkt kan man skriva minimipunkt / maximipunkt utan att lägga till lokal ?

jordgubbe skrev:

Jaha, så om man bara skriver maximipunkt eller minimipunkt så är det fel?

Nej, jag tror inte att du får fel om du bara skriver mi imipunkt.

Man måste alltså tilläga lokal innan? varför behöver man göra det? Vad är det för skillnad mellan att bara skriva minimipunkt eller maximipunkt och lokal maximipunkt , lokal minimipunkt. Behöver man tilläga lokal, eftersom det finns flera extrempunkter för funktionen?? alltså, om det bara är en extrempunkt kan man skriva minimipunkt / maximipunkt utan att lägga till lokal ?

Du kan läsa om skillnaden mellan lokala och globala minimi-/maximipunkter här

Yngve skrev:
jordgubbe skrev:

Jaha, så om man bara skriver maximipunkt eller minimipunkt så är det fel?

Nej, jag tror inte att du får fel om du bara skriver mi imipunkt.

Man måste alltså tilläga lokal innan? varför behöver man göra det? Vad är det för skillnad mellan att bara skriva minimipunkt eller maximipunkt och lokal maximipunkt , lokal minimipunkt. Behöver man tilläga lokal, eftersom det finns flera extrempunkter för funktionen?? alltså, om det bara är en extrempunkt kan man skriva minimipunkt / maximipunkt utan att lägga till lokal ?

Du kan läsa om skillnaden mellan lokala och globala minimi-/maximipunkter här

Tror att du har råkat lägga upp någon annan sida

Ja, det blev fel.

Här är rätt länk.

Yngve skrev:
Ja, det blev fel.

Här är rätt länk.

Tack