Extremvärden och stationära punkter
Hej! Jag har en uppgift här som jag inte förstår hur man ska lösa och vore väldigt tacksam om någon kunde förklara hur man ska tänka.
Bestäm alla stationära punkter till funktionen
Bestäm också det största och minsta värdet av funktionen i det slutna begränsade området som begränsas av kurvorna och , där
Jag har räknat ut att stationär punkt, att de partiella derivatorna till f är lika med noll ger (1,2) vilket stämmer med facit. Hur hittar man största och minsta värde utifrån villkoren???
Du behöver undersöka om det finns några extremvärden på randen till området.
Ok jag provade att sätta in randpunkterna (2,4) och (0,0) och fick fram rätt svar. Trodde man skulle ställa upp ett ekvationssystem först..
Tack!
shangri skrev :Ok jag provade att sätta in randpunkterna (2,4) och (0,0) och fick fram rätt svar. Trodde man skulle ställa upp ett ekvationssystem först..
Tack!
Det finns betydligt fler randpunkter än de två.
Oändligt många faktiskt.
Varför just dom randpunkterna? Det ger förstås inga poäng att titta i facit. Du ska först rita området, sen sätta in takets ekvation y=4 och söka det x som ger minimum, sen sätta in golvets ekvation y=x^2 och söka det x som ger minimum. Så får du jämföra vilket av dom två minimivärdena som är minst. Sen gör du samma sak för maximum.
För y = 4 finns det väl bara ett x-värde uppfyller de övrig två villkoren om inte jag missförstår det hela, eftersom -2 inte ingår. Och x = 0 får man ju fram genom att ta minpunkt till y=x^2. Så tänkte jag iaf.
Men jag förstår nu hur man ska räkna algebraiskt genom att sätta in ekvationerna i f, det var det jag inte förstod när jag ställde frågan.
shangri skrev :För y = 4 finns det väl bara ett x-värde uppfyller de övrig två villkoren om inte jag missförstår det hela, eftersom -2 inte ingår. Och x = 0 får man ju fram genom att ta minpunkt till y=x^2. Så tänkte jag iaf.
Men jag förstår nu hur man ska räkna algebraiskt genom att sätta in ekvationerna i f, det var det jag inte förstod när jag ställde frågan.
Vilka övriga två villkor?
Har du ritat en figur så att du förstår frågan?
Du ska söka efter stationära punkter samt största och minsta värdet för f(x,y) i det angivna området.
Vi kan jämföra detta med envariabelfallet:
"Sök stationära punkter samt största och minsta värde till funktionen g(x) = x^3 i intervallet som begränsas av x = -1 och x = 1"
Stationära punkter: Derivera och sätt derivatan lika med noll:
g'(x) = 3x^2
g'(x) = 0 ger att vi har en stationär punkt för x = 0. Den stationära punkten är (0. 0).
För att hitta största och minsta värde måste vi dessutom titta på de två randpunkterna till intervallet, nämligen x = -1 och x = 1.
g(-1) = (-1)^3 = -1
g(1) = 1^3 = 1
Största värde är alltså 1, för x = 1
Minsta värde är alltså -1, för x = -1
I ditt exempel är det inte ett endimensionellt intervall utan ett tvådimensionellt område som du måste hantera.
I ditt exempel med f(x, y) så har du har korrekt hittat den stationära punkten inne i området, men det behöver inte betyda att f(x,y) har sitt största eller minsta värde där.
Du måste titta på funktionens värde längs med hela randen till området.
Du kan dela in randen i två delar:
- Linjen y = 4. Vad har funktionen f(x, y) för utseende här? Vad är alltså funktionens största och minsta värde längs med denna linje?
- Parabeln y = x^2. Vad har funktionen f(x, y) för utseende här? Vad är alltså funktionens största och minsta värde längs med denna parabel?
Precis jag blandade ihop det lite med endim...
Tack för förklaringarna :)
